Abbiamo già visto il concetto di matrice di trasferimento nel caso del modello di Ising. In questo articolo consideriamo lo stesso problema per l’oscillatore armonico. In una dimensione, la Lagrangiana per l’oscillatore armonico è data da
$$L = \frac12 \dot{x}^2 -\frac12 \omega x^2$$
Mettendo questo sistema su reticolo avremo un $x_i$ su ogni sito $i$ del reticolo, e dobbiamo approssimare la derivata. Abbiamo perciò l’azione
$$S = a \sum_i \bqty{\frac12 \pqty{\frac{x_{i+1}-x_i}{a}}^2 -\frac12 \omega^2 x_i^2 } $$
dove $a \sum_i \approx \int dt$ e il fattore $a$ (cioè il passo del reticolo) è necessario per motivi dimensionali. L’integrale sui cammini è dato da
$$Z = \int_{-\infty}^{+\infty} \pqty{\prod_i dx_i} e^{-S} $$
Sostituendo l’azione, otteniamo in maniera equivalente
$$Z = \int_{-\infty}^{+\infty} \pqty{\prod_i dx_i} \prod_i T(x_{i+1},x_i)$$
dove la “matrice di trasferimento” T ha elementi
$$T(y,x) = \exp{\bqty{\frac{1}{2a} \pqty{y-x}^2 – \frac12 a \omega^2 x^2} }$$
Ora vogliamo trovare uno spazio di Hilbert e un operatore $\hat{T}$ i cui elementi di matrice sono $T(y,x)$. La scelta ovvia è lo spazio spannato dagli elementi di base $\{\ket{x}\}$ per $x \in \R$ con $\expval{x| y} = \delta(x-y)$. L’operatore $\hat{T}$ dovrà perciò soddisfare
$$\bra{y} \hat{T} \ket{x} = T(y,x)$$
Se il reticolo ha $N$ siti con condizioni al contorno periodiche, avremo perciò
$$Z = \tr(\hat{T}^N)$$
Per trovare esplicitamente la matrice di trasferimento, scriviamo
$$\hat{T} = \int dx\, dy\, \ket{y}\bra{y} \hat{T} \ket{x}\bra{x} = \int dx\, dy\, T(y,x) \ket{y}\bra{x}$$
Cambiando variabili da $(x,y)$ a $(x, \Delta)$ dove $\Delta=y-x$ (notiamo che questa trasformazione ha Jacobiano uguale ad uno) ed esplicitando gli elementi di matrice, abbiamo
$$\hat{T} = \int dx\, d\Delta\, \exp{\pqty{\frac{1}{2a} \Delta^2}\ket{x+\Delta}\bra{x} \exp{\pqty{-\frac12 a \omega^2 x^2}} }$$
Risulta naturale perciò introdurre l’operatore $\hat{x}$ definito ponendo
$$\hat{x} \ket{x_0} = x_0 \ket{x_0}$$
Introduciamo inoltre l’operatore che effettua traslazioni, ovvero chiamando $\hat{p}$ l’operatore tale che $[\hat{x}, \hat{p}] = i$, abbiamo come sappiamo in meccanica quantistica,
$$e^{-i \Delta \hat{p}} \ket{x} = \ket{x+\Delta} $$
Perciò sostituendo nella formula per la matrice di trasferimento abbiamo
\begin{align*}
\hat{T} &= \int dx\, d\Delta\, \exp{\pqty{\frac{1}{2a} \Delta^2} e^{-i \Delta \hat{p}} \ket{x}\bra{x} \exp{\pqty{-\frac12 a \omega^2 x^2}} } = \\
&=\int d\Delta\, \exp{\pqty{\frac{1}{2a} \Delta^2} e^{-i \Delta \hat{p}} \exp{\pqty{-\frac12 a \omega^2 \hat{x}^2}} }
\end{align*}
dove abbiamo sostituito $x$ con $\hat{x}$ (agendo su $\ket{x}$) e usato la risoluzione dell’identità $\int dx \ket{x}\bra{x}=1$. L’integrale su $\Delta$ è quindi un integrale Gaussiano, che può essere calcolato facilmente e porta a
$$ \hat{T} = \sqrt{2\pi a}\, \exp{\pqty{-\frac{1}{2} a \hat{p}^2}} \exp{\pqty{-\frac12 a \omega^2 \hat{x}^2}}$$
A questo punto per estrarre l’Hamiltoniana dalla matrice di trasferimento, sappiamo che $\hat{T} \propto \exp{\pqty{-a \hat{H} + \mathcal{O}(a^2)}}$. In questo caso infatti l’unica dimensione è interpretata come la dimensione temporale e l’Hamiltoniana è ottenuta nel limite del continuo nella direzione temporale. Perciò usando la formula BCH abbiamo
$$ \hat{T} = \sqrt{2\pi a}\, \exp{\pqty{-\frac{1}{2} a \hat{p}^2-\frac12 a \omega^2 \hat{x}^2 + \mathcal{O}(a^2)}}$$
e quindi concludiamo che l’Hamiltoniana è
$$\hat{H} = \frac{1}{2} \hat{p}^2+\frac12 \omega^2 \hat{x}^2$$
che è esattamente la solita Hamiltoniana dell’oscillatore armonico quantistico.