Supponiamo che $G$ sia un gruppo finito e $H$ un suo sottogruppo normale. Possiamo allora formare il gruppo quoziente $G/H$. Abbiamo già visto [universalità del quoziente] qual è la relazione tra omomorfismi di $G$ e omomorfismi di $G/H$. Ora ci interessa il caso particolare in cui l’omomorfismo è una rappresentazione. In particolare, qual è la connessione tra le rappresentazioni irriducibili di $G$ e quelle di $G/H$?
In questo articolo dimostriamo un risultato che risolve il problema in maniera parziale:
Proposizione. Sia $\widetilde{\rho}$ una rappresentazione di $G$ tale che $H \subset \ker \widetilde{\rho}$. Allora esiste un’unica rappresentazione $\rho$ di $G/H$ tale che $\widetilde{\rho} = \rho \circ \pi$, dove $\pi: G \to G/H$ è la proiezione canonica. Inoltre:
- $\widetilde{\rho}$ è irriducibile se e solo se $\rho$ è irriducibile;
- Se $H = \ker \widetilde{\rho}$ allora $\rho$ è fedele.
Dimostrazione. L’esistenza e l’unicità della rappresentazione segue dalla proprietà universale del quoziente, che abbiamo dimostrato in un articolo precedente. Per dimostrare la fedeltà, supponiamo che $\rho(gH)=I$, dove $I$ è la matrice identità. Allora abbiamo $\widetilde{\rho}(g)=I$ e quindi $g \in \ker\widetilde{\rho} = H$. Perciò $gH = H$ è l’identità e quindi $\rho$ ha kernel banale.
Rimane da dimostrare l’equivalenza dell’irriducibilità. Chiamiamo $\widetilde{\chi}$ e $\chi$ i caratteri di $\widetilde{\rho}$ e $\rho$ rispettivamente. Dimostriamo che i due caratteri hanno lo stesso prodotto interno nei rispettivi gruppi. In particolare abbiamo $\widetilde{\chi}(g) = \chi(g H)$ e quindi
\begin{align*}
\expval{\chi, \chi}_{G/H} &\equiv \frac{1}{\abs{G/H}} \sum_{gH \in G/H} \chi(gH)^* \chi(gH)=\\
&=\frac{\abs{H}}{\abs{G}} \sum_{gH \in G/H} \widetilde{\chi}(g)^* \widetilde{\chi}(g)=\\
&=\frac{1}{\abs{G}} \sum_{gH \in G/H} \abs{H} \widetilde{\chi}(g)^* \widetilde{\chi}(g)=\\
&=\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \widetilde{\chi}(g)^* \widetilde{\chi}(g)=\expval{\widetilde{\chi}, \widetilde{\chi}}_G
\end{align*}
In pratica poiché $H \subset \ker\widetilde{\rho}$ allora $\widetilde{\chi}$ è costante sulle classi laterali di $H$, e poiché tutte le classi laterali hanno lo stesso numero di elementi, segue che le varie manipolazioni che abbiamo effettuato sono ben definite. In un precedente articolo, abbiamo dimostrato che una rappresentazione con carattere $\chi$ è irriducibile se e solo se $\expval{\chi, \chi}=1$. Perciò l’uguaglianza sopra dimostra l’equivalenza dell’irriducibilità delle due rappresentazioni. $\square$