Dato un gruppo $G$ e un suo sottogruppo normale $N$, possiamo formare il gruppo quoziente $G/N$. In particolare abbiamo anche una proiezione canonica $\pi: G \to G/N$ data da $g \to g N$ dove $gN \in G/N$ è un coinsieme. La proprietà universale del quoziente di un gruppo è il seguente risultato:
Proposizione. Sia $N$ un sottogruppo normale di $G$ e $f: G \to H$ un omomorfismo tale che $N \subset \ker{f}$. Allora esiste ed è unico l’omomorfismo $F: G/N \to H$ tale che $f = F \circ \pi$.
In altre parole se $f(N) = 1$, allora possiamo “fattorizzare” l’omomorfismo $f$ tramite $G/N$. Cioè invece di andare direttamente $G\to H$ facciamo $G \to G/N \to H$. Ciò è del tutto intuitivo: infatti quozientare via $N$ vuol dire “porlo uguale all’indentità”; ciò è esattamente quello che fa $f$, dato che $f(N)=1$.
La situazione può essere illustrata dal diagramma:
$$\require{AMScd}
\begin{CD}
G\\
@VV{\pi}V {_{}\style{display: inline-block; transform: rotate(30deg)}{{\xrightarrow[\rule{4em}{0em}]{_{\rlap{f}}}}}}\\
G/H @>F>> H
\end{CD}$$
Dimostrazione. Proviamo a definire direttamente la mappa $F$. In particolare la scelta ovvia è
$$F(g N) \equiv f(g)$$
Chiaramente dobbiamo dimostrare che è ben definita. Infatti supponiamo che $g N = h N$. Allora abbiamo $g^{-1} h \in N$. Perciò abbiamo
$$F(gN) = f(g) = f(g) \underbrace{f(g^{-1} h)}_{=1} = f(g g^{-1} h) = f(h) = F(hN)$$
dove abbiamo usato prima il fatto che $N \subset \mathrm{ker}(f)$ e poi il fatto che $f$ è un omomorfismo. Ciò implica che $F: G/N \to H$ è effettivamente una funzione. Poiché $f$ è un omomorfismo è facile vedere che anche $F$ è un omomorfismo. È anche chiaro che $f(g) = F(g N) = F( \pi (g))$ come richiesto.
L’unicità in un certo senso è banale. Infatti poiché $F$ è una mappa da $G/N$ che deve soddisfare $F( \pi (g)) = f(g)$ non abbiamo nessuna libertà di scelta. $\square$
Questo risultato torna spesso utile, come vedremo in alcuni articoli futuri.