Abbiamo visto in un precedente articolo il problema del raddoppiamento dei fermioni, e abbiamo visto anche che esiste una maniera di circuire il problema anche se in pratica non è utile. In questo articolo vediamo una terza soluzione che chiamiamo fermioni scalatori (in inglese domain wall fermions).
In particolare per semplicità supponiamo di trovarci in quattro dimensioni spaziotemporali. Allora i fermioni scalatori vivranno in uno spaziotempo a cinque dimensioni. Nella quinta dimensione i fermioni saranno soggetti ad un potenziale che darà luogo ad una parete tra domini; i fermioni scalatori vivranno quindi in uno dei due domini, quello a “bassa energia” e quindi saranno efficacemente in dimensione quattro come vogliamo. L’idea è che sono degli “scalatori” attaccati alla parete. Supponiamo che l’operatore di Dirac sia dato da
$$D = \gamma_\mu \partial_\mu + \gamma_5 \partial_s -V(s)$$
dove $s$ è la coordinata della quinta dimensione e $V(s)$ un certo potenziale. Non ci interessa da dove proviene $V(s)$, né ci interessa la sua forma esatta. Il punto è che $V(s) \to \pm M$ per $s \to \pm \infty$ e nel mezzo interpola in qualche maniera tra questi due stati di vuoto (ad esempio possiamo pensare a $V(s) \approx M\tanh(Ms)$). Questa è esattamente una “parete” (nel linguaggio dei difetti topologici) tra i due domini $\pm M$:
Presa da Luscher, Chiral gauge theories revisited.
Possiamo a questo punto cercare le solite soluzioni di onda piana all’equazione di Dirac $D \psi =0$, perciò poniamo $\psi(x,s) = e^{ipx} u(s)$ dove la soluzione è più complicata nella quinta dimensione a causa del potenziale. Sostituendo abbiamo quindi
$$(\gamma_5 \partial_s -V(s)) u(s) = -i \gamma_\mu p_\mu u(s)$$
Moltiplicando entrambi i lati per $-i \gamma_\mu p_\mu$ e utilizzando di nuovo quest’ultima equazione (ricordiamo che $\gamma_5$ anticommuta con le altre matrici gamma) otteniamo quindi
$$(-\partial_s^2 + W(s)) u(s) = m^2 u(s) \quad \quad \quad W(s) = \gamma_5 \partial_s V(s) + V(s)^2 $$
dove $p^2 = -m^2$. Ciò vuol dire che la massa dei fermioni liberi in quattro dimensioni è data dalla soluzione di una certa equazione differenziale nella quinta dimensione. In linea di massima quest’equazione avrà infinite soluzioni, e poiché $(-\partial_s^2 + W(s))$ commuta con $\gamma_5$, le soluzioni avranno chiralità definita.
Possiamo studiare l’equazione come fosse l’equazione di Schrodinger in una dimensione. In questo caso l’autovalore è $m^2$ invece dell'”energia” come nell’equazione di Schrodinger. Per $s \to \pm \infty$ abbiamo $W(s) \to M^2$ e quindi gli stati con autovalore $m^2<M^2$ sono stati vincolati, mentre quelli con autovalore $m^2>M^2$ formano uno spettro continuo non normalizzabile. In particolare, poiché l’unica scala di energia è $M$ allora tutti gli stati vincolati avranno energia vera di ordine $M$. Esistono stati a energia nulla? Notiamo che $(-\partial_s^2 + W(s)) = (-\gamma_5\partial_s + V(s))^\dagger (-\gamma_5\partial_s + V(s))$ e quindi l’operatore è positivo. Perciò non esistono stati a energia negativa, e inoltre uno stato a energia nulla soddisfa $(-\gamma_5\partial_s + V(s)) u(s)=0$ e quindi in particolare $i \gamma_\mu p_\mu u(s)=0$. Se $v$ ha chiralità definita allora $P_\pm v = v$ dove $P_\pm = \frac12 (1\pm \gamma_5)$, ovvero $\gamma_5 v = \pm v$ per le due chiralità opposte. Perciò le soluzioni a massa nulla hanno chiralità definita e soddisfano
$$u(s) = \exp{\pqty{\pm \int_0^s dt\, V(t)}}v \quad \quad P_\pm v = v \quad \quad \gamma_\mu p_\mu u(s)=0$$
dove il segno nell’esponenziale cancella il segno della matrice gamma nell’equazione. Segue che soltanto la soluzione con chiralità negativa è normalizzabile, e inoltre decade esponenzialmente nella quinta direzione.
Il riassunto è che mettendo una parete tra domini nella quinta dimensione abbiamo ottenuto un singolo fermione senzamassa con chiralità definita che è efficacemente quadridimensionale. Tutti gli altri stati hanno massa $M$ grande e sono quindi irrilevanti a basse energie. Si può dimostrare che nel limite in cui la quinta direzione è infinita allora l’azione per i fermioni soddisfa la relazione di Ginsparg-Wilson. Questa costruzione funziona anche su reticolo e in quel caso è naturale porre $M=1/a$. Tuttavia il fatto di dover introdurre una quinta dimensione aumenta notevolmente il costo computazionale delle simulazioni.