Consideriamo uno spin quantistico $\vec{S}$ che obbedisce le relazioni di commutazione
$$[S^a, S^b] = i \epsilon^{abc} S^c$$
Supponiamo di considerare un sistema con spin $s$, ovvero $S^2=s(s+1)$. La trasformazione di Holstein-Primakov è una trasformazione che permette di esprimere lo spin quantistico $S$ in termini di un operatore bosonico $a$. Prima di tutto scriviamo le relazioni di commutazione in termini degli operatori di creazione e distruzione $S^\pm = S^1 \pm i S^2$,
$$[S^3,S^{\pm}] = \pm S^{\pm} \qquad [S^+, S^-] = 2 S^3$$
La rappresentazione di Holstein-Primakov è data da
$$S^3 = s -a^\dagger a \ , \quad S^- = \sqrt{2s}\, a^\dagger \pqty{1-\frac{a^\dagger a}{2s}}^{1/2}$$
dove $S^+ = (S^-)^\dagger$ e i bosoni soddisfano $[a,a^\dagger]=1$. La rappresentazione è particolarmente utile per $s$ grande: infatti in tal caso possiamo espandere la radice quadrata in potenze di $1/s$ e quindi ottenere un’espansione sistematica dell’Hamiltoniana in potenze dello spin.
Ora verifichiamo che la trasformazione è sensata, ovvero dobbiamo verificare che i $S$ correttamente soddisfano le relazioni di commutazione tra spin. Ponendo $A = \pqty{1-\frac{a^\dagger a}{2s}}^{1/2}$, abbiamo
\begin{align*}
[S^3, S^-] &= [s-a^\dagger a, \sqrt{2s}\, a^\dagger A] = -\sqrt{2s} \pqty{ a^\dagger [a^\dagger a, A] + [a^\dagger a , a] A }=\\
&=-\sqrt{2s} a^\dagger [a, a^\dagger] A = -S^-
\end{align*}
come dev’essere. Abbiamo usato il fatto che $[a^\dagger a, A]=0$, cosa che può essere derivata facilmente espandendo $A$ in potenze di $1/s$. Possiamo usare questa relazione per ottenere
$$0 = [a^\dagger a, A]= a^\dagger [a, A] + [a^\dagger, A] a$$
Ora calcoliamo l’altro commutatore,
\begin{align*}
\frac{1}{2s} [S^+, S^-] &= [ A a, a^\dagger A] = A [a, a^\dagger A] + [A, a^\dagger A] a =\\
&= A [a, a^\dagger] A + A a^\dagger [a, A] + [A, a^\dagger] A a=A^2 – (A[a^\dagger, A] + [a^\dagger, A] A)a=\\
&=A^2 – [a^\dagger, A^2] a = 1-\frac{a^\dagger a}{2s} \frac{a^\dagger a}{2s} = 1-\frac{a^\dagger a}{s}
\end{align*}
e quindi $[S^+, S^-] = 2 (s-a^\dagger a) = 2S^3$ come richiesto. Nella derivazione abbiamo usato il commutatore $[a^\dagger, A^2] = \frac{a^\dagger}{2s}$ e anche la relazione precedente.
Verifichiamo anche che otteniamo un oggetto di spin $s$:
\begin{align*}
S^2 &= (S^1)^2 + (S^2)^2 + (S^3)^2 = \frac12 S^- S^+ + \frac12 S^+ S^- + (S^3)^2 =\\
&=\frac{1}{2}2s ( a^\dagger A A a + A a a^\dagger A) + (s-a^\dagger a)^2
\end{align*}
Calcoliamo i vari pezzi separatamente,
\begin{align*}
a^\dagger A^2 a &= a^\dagger a -\frac{(a^\dagger)^2 a^2}{2s}=a^\dagger a -\frac{(a^\dagger a)^2}{2s}+\frac{a^\dagger a}{2s}\\
A a a^\dagger A &= A a^\dagger a A + A^2 = A^2 (1+a^\dagger a) = 1 + a^\dagger a -\frac{a^\dagger a}{2s} -\frac{(a^\dagger a)^2}{2s}\\
(s-a^\dagger a)^2 &= s^2 – 2 s a^\dagger a + (a^\dagger a)^2
\end{align*}
Perciò in totale abbiamo
\begin{align*}
S^2 &= s \pqty{ a^\dagger a -\frac{(a^\dagger a)^2}{2s}+\frac{a^\dagger a}{2s} + 1 + a^\dagger a -\frac{a^\dagger a}{2s} -\frac{(a^\dagger a)^2}{2s}} + s^2 – 2 s a^\dagger a + (a^\dagger a)^2\\
&=s^2 + s = s(s+1)
\end{align*}
esattamente come richiesto.