La trasformazione di Holstein-Primakov per gli spin quantistici

Consideriamo uno spin quantistico S che obbedisce le relazioni di commutazione

[Sa,Sb]=iϵabcSc

Supponiamo di considerare un sistema con spin s, ovvero S2=s(s+1). La trasformazione di Holstein-Primakov è una trasformazione che permette di esprimere lo spin quantistico S in termini di un operatore bosonico a. Prima di tutto scriviamo le relazioni di commutazione in termini degli operatori di creazione e distruzione S±=S1±iS2,

[S3,S±]=±S±[S+,S]=2S3

La rappresentazione di Holstein-Primakov è data da

S3=saa ,S=2sa(1aa2s)1/2

dove S+=(S) e i bosoni soddisfano [a,a]=1. La rappresentazione è particolarmente utile per s grande: infatti in tal caso possiamo espandere la radice quadrata in potenze di 1/s e quindi ottenere un’espansione sistematica dell’Hamiltoniana in potenze dello spin.

Ora verifichiamo che la trasformazione è sensata, ovvero dobbiamo verificare che i S correttamente soddisfano le relazioni di commutazione tra spin. Ponendo A=(1aa2s)1/2, abbiamo

[S3,S]=[saa,2saA]=2s(a[aa,A]+[aa,a]A)==2sa[a,a]A=S

come dev’essere. Abbiamo usato il fatto che [aa,A]=0, cosa che può essere derivata facilmente espandendo A in potenze di 1/s. Possiamo usare questa relazione per ottenere

0=[aa,A]=a[a,A]+[a,A]a

Ora calcoliamo l’altro commutatore,

12s[S+,S]=[Aa,aA]=A[a,aA]+[A,aA]a==A[a,a]A+Aa[a,A]+[A,a]Aa=A2(A[a,A]+[a,A]A)a==A2[a,A2]a=1aa2saa2s=1aas

e quindi [S+,S]=2(saa)=2S3 come richiesto. Nella derivazione abbiamo usato il commutatore [a,A2]=a2s e anche la relazione precedente.

Verifichiamo anche che otteniamo un oggetto di spin s:

S2=(S1)2+(S2)2+(S3)2=12SS++12S+S+(S3)2==122s(aAAa+AaaA)+(saa)2

Calcoliamo i vari pezzi separatamente,

aA2a=aa(a)2a22s=aa(aa)22s+aa2sAaaA=AaaA+A2=A2(1+aa)=1+aaaa2s(aa)22s(saa)2=s22saa+(aa)2

Perciò in totale abbiamo

S2=s(aa(aa)22s+aa2s+1+aaaa2s(aa)22s)+s22saa+(aa)2=s2+s=s(s+1)

esattamente come richiesto.

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