Consideriamo uno spin quantistico →S che obbedisce le relazioni di commutazione
[Sa,Sb]=iϵabcSc
Supponiamo di considerare un sistema con spin s, ovvero S2=s(s+1). La trasformazione di Holstein-Primakov è una trasformazione che permette di esprimere lo spin quantistico S in termini di un operatore bosonico a. Prima di tutto scriviamo le relazioni di commutazione in termini degli operatori di creazione e distruzione S±=S1±iS2,
[S3,S±]=±S±[S+,S−]=2S3
La rappresentazione di Holstein-Primakov è data da
S3=s−a†a ,S−=√2sa†(1−a†a2s)1/2
dove S+=(S−)† e i bosoni soddisfano [a,a†]=1. La rappresentazione è particolarmente utile per s grande: infatti in tal caso possiamo espandere la radice quadrata in potenze di 1/s e quindi ottenere un’espansione sistematica dell’Hamiltoniana in potenze dello spin.
Ora verifichiamo che la trasformazione è sensata, ovvero dobbiamo verificare che i S correttamente soddisfano le relazioni di commutazione tra spin. Ponendo A=(1−a†a2s)1/2, abbiamo
[S3,S−]=[s−a†a,√2sa†A]=−√2s(a†[a†a,A]+[a†a,a†]A)==−√2sa†[a,a†]A=−S−
come dev’essere. Abbiamo usato il fatto che [a†a,A]=0, cosa che può essere derivata facilmente espandendo A in potenze di 1/s. Possiamo usare questa relazione per ottenere
0=[a†a,A]=a†[a,A]+[a†,A]a
Ora calcoliamo l’altro commutatore,
12s[S+,S−]=[Aa,a†A]=A[a,a†A]+[A,a†A]a==A[a,a†]A+Aa†[a,A]+[A,a†]Aa=A2−(A[a†,A]+[a†,A]A)a==A2−[a†,A2]a=1−a†a2s−a†a2s=1−a†as
e quindi [S+,S−]=2(s−a†a)=2S3 come richiesto. Nella derivazione abbiamo usato il commutatore [a†,A2]=a†2s e anche la relazione precedente.
Verifichiamo anche che otteniamo un oggetto di spin s:
S2=(S1)2+(S2)2+(S3)2=12S−S++12S+S−+(S3)2==122s(a†AAa+Aaa†A)+(s−a†a)2
Calcoliamo i vari pezzi separatamente,
a†A2a=a†a−(a†)2a22s=a†a−(a†a)22s+a†a2sAaa†A=Aa†aA+A2=A2(1+a†a)=1+a†a−a†a2s−(a†a)22s(s−a†a)2=s2−2sa†a+(a†a)2
Perciò in totale abbiamo
S2=s(a†a−(a†a)22s+a†a2s+1+a†a−a†a2s−(a†a)22s)+s2−2sa†a+(a†a)2=s2+s=s(s+1)
esattamente come richiesto.