In questo articolo dimostriamo un fatto talvolta utile legato al prodotto tensoriale di rappresentazioni:
Proposizione. Sia $\rho$ una rappresentazione irriducibile di $G$ e $\sigma$ una rappresentazione monodimensionale di $G$. Allora la rappresentazione $\rho \otimes \sigma$ è anch’essa irriducibile.
La dimostrazione necessità del seguente lemma che dimostriamo prima. Definendo come al solito il prodotto interno di due funzioni sul gruppo
$$\expval{\phi, \psi} \equiv \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \phi(g)^* \psi(g)$$
allora abbiamo il seguente risultato:
Lemma. Una rappresentazione $\rho$ è irriducibile se e solo se $\expval{\chi, \chi}=1$ dove $\chi$ è il carattere di $\rho$.
Dimostrazione. Se $\rho$ è irriducibile allora $\expval{\chi, \chi}=1$ per le relazioni di ortogonalità tra i caratteri irriducibili. Per la direzione inversa, supponiamo che $\expval{\chi, \chi}=1$. In generale $\rho$ non è irriducibile, ma può essere sempre decomposta come somma diretta di rappresentazioni irriducibili
$$\rho \bigoplus_{i=1}^n \rho_i^{\oplus k_i}$$
dove $n$ è il numero di rappresentazioni irriducibili e $k_i$ la molteplicità della rappresentazione $i$. Allora il carattere di $\rho$ sarà dato in termini dei caratteri irriducibili $\chi_i$ da
$$\chi = \sum_{i=1}^n k_i \chi_i$$
dove i $k_i$ sono interi. Allora poiché i caratteri sono ortonormali, possiamo calcolare esplicitamente
$$\expval{\chi, \chi} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n k_i k_j \expval{\chi_i, \chi_j} = \sum_{i=1}^n k_i^2$$
Poiché sappiamo che $\expval{\chi, \chi}=1$ e i $k_i$ sono interi, l’unico modo di soddisfare questa condizione è che tutti i $k_i$ siano zero tranne uno che è uguale a $1$. Tornando alla decomposizione di $\rho$, ciò significa che nella decomposizione compare solo una rappresentazione irriducibile con molteplicità uno, e quindi $\rho$ è quella rappresentazione irriducibile. $\square$
La dimostrazione di questo risultato ce ne dà un altro praticamente gratis, per cui tanto vale renderlo esplicito:
Proposizione. Una funzione $f$ invariante sulle classi di coniugazione è il carattere di una rappresentazione se e solo se $\expval{\chi_i, f} \in \N$ per ogni carattere irriducibile $\chi_i$.
Dimostrazione. Il carattere di una rappresentazione è sempre invariante sulle classi di coniugazione e quindi anche $f$ dev’esserlo. Inoltre ogni funzione $f$ invariante sulle classi di coniugazione può essere decomposta come $f = \sum_i^n c_i \chi_i$ dove gli $c_i \in \C$ sono coefficienti arbitrari. Usando le relazioni di ortogonalità tra i caratteri irriducibili, gli $c_i$ possono essere calcolati tramite $c_i =\expval{\chi_i, f}$.
Dalla dimostrazione precedente sappiamo che se $\rho$ è una rappresentazione qualsiasi, allora il suo carattere è genericamente dato da una combinazione lineare degli $\chi_i$ con $c_i \in \N$ e ciò conclude una direzione. Nell’altra direzione, se gli $c_i$ sono interi, allora possiamo costruire la rappresentazione
$$\rho \bigoplus_{i=1}^n \rho_i^{\oplus c_i}$$
e il carattere di $\rho$ sarà esattamente $f$. $\square$
Ora possiamo procedere alla dimostrazione del risultato principale:
Proposizione. Sia $\rho$ una rappresentazione irriducibile di $G$ e $\sigma$ una rappresentazione monodimensionale di $G$. Allora la rappresentazione $\rho \otimes \sigma$ è anch’essa irriducibile.
Dimostrazione. Come è facile intuire, utilizziamo i risultati precedenti. Per le proprietà del prodotto tensoriale, il carattere di $\rho \otimes \sigma$ è dato dal prodotto dei due caratteri,
$$\chi_{\rho \otimes \sigma} = \chi_{\rho}\chi_{\sigma}$$
In luce del lemma precedente, per dimostrare che $\rho \otimes \sigma$ è irriducibile, dobbiamo calcolarne la norma,
\begin{align*}
\expval{\chi_{\rho \otimes \sigma}, \chi_{\rho \otimes \sigma}} &= \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \chi_{\rho \otimes \sigma}(g)^*\chi_{\rho \otimes \sigma}(g)=\\
&=\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \chi_{\rho}(g) \chi_{\sigma}(g)^* \chi_{\rho}(g)\chi_{\sigma}(g) = \\
&=\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \chi_{\rho}(g) \chi_{\rho}(g) = \expval{\chi_{\rho}, \chi_{\rho}}=1
\end{align*}
dove alla fine abbiamo usato il fatto che $\rho$ è irriducibile. Il passo cruciale è il fatto che $\chi_{\sigma}(g)^* \chi_{\sigma}(g) = \abs{\chi_{\sigma}(g)}^2=1$. Ciò è vero perché $\sigma$ è monodimensionale, quindi $\chi_{\sigma}(g)=\sigma(g)$ è un numero e poiché $\sigma$ è unitaria allora $\sigma(g)^* \sigma(g)=1$. $\square$