I caratteri irriducibili ${\chi_i}$ di un gruppo finito soddisfano una relazione di ortogonalità,
$$\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \chi_j(g) = \delta_{ij}$$
In questo articolo vediamo una generalizzazione di questa relazione di ortogonalità, ovvero
$$\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \chi_j(g h) = \delta_{ij} \frac{\chi_j(h)}{\chi_j(1)}$$
Per dimostrare questa formula partiamo dal membro sinistro. Chiamiamo $\rho_j$ la rappresentazione con carattere $\chi_j$. Abbiamo
\begin{align}
\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \chi_j(g h) &= \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \tr{\pqty{\rho_j(g) \rho_j(h)}}=\\
&=\tr{\bqty{\pqty{\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \rho_j(g)} \rho_j(h)}}
\end{align}
Ora consideriamo la matrice
$$A \equiv \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \rho_j(g)$$
Dimostriamo che $A$ commuta con $\rho_j$. Abbiamo infatti
$$A \rho_j(h) = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \rho_j(g h) \overset{g \to h g h^{-1}}{=} \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \rho_j(h g) = \rho_j(h) A$$
dove abbiamo usato il fatto che sommare su $g$ è equivalente a sommare su $h g h^{-1}$ e il fatto che $\chi_i(h g h^{-1}) = \chi_i(g)$. Poiché $A$ commuta con una rappresentazione irriducibile, per il lemma di Schur è proporzionale alla matrice identità,
$$A = \lambda 1$$
Possiamo calcolare $\lambda$ prendendo la traccia di entrambi i lati, ottenendo
$$\chi_j(1) \lambda = \tr{\pqty{\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \rho_j(g)}} = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \chi_j(g) = \delta_{ij}$$
dove $\chi_j(1) = \tr(1)=\dim{\rho_j}$ e abbiamo usato le relazioni di ortogonalità. Sostituendo la formula che abbiamo appena trovato per $A$ nella relazione iniziale otteniamo
$$\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} \chi_i(g)^* \chi_j(g h) = \tr{\bqty{\lambda \rho_j(h)}} = \delta_{ij} \frac{\chi_j(h)}{\chi_j(1)}$$
che conclude la dimostrazione.