In questo articolo vediamo alcune proprietà dei caratteri di una rappresentazione. Consideriamo il caso in cui il gruppo $G$ è un gruppo finito oppure un gruppo di Lie compatto, e la rappresentazione è sempre finito-dimensionale. In questo caso può essere sempre scelta unitaria.
Consideriamo il carattere $\chi$ della rappresentazione $\rho$. Allora $\chi(1)=\dim{\rho}$ dove $1$ è l’identità nel gruppo, ed è quindi sempre un intero positivo. Abbiamo il seguente risultato:
Proposizione. $\abs{\chi(g)} \leq \chi(1)$ con uguaglianza se e solo se $\rho(g)$ è proporzionale all’identità.
Dimostrazione. Il carattere $\chi(g)$ è la somma degli autovalori $\lambda_i$ della matrice unitaria $\rho(g)$. Per la disuguaglianza triangolare abbiamo
$$\abs{\chi(g)} = \abs{\sum_i \lambda_i} \leq \sum_i \abs{\lambda_i} = \dim{\rho}=\chi(1)$$
dove abbiamo usato il fatto che gli autovalori di una matrice unitaria hanno modulo uno. Sempre per la disuguaglianza triangolare segue che abbiamo uguaglianza se e solo se tutti i $\lambda_i$ sono uguali. Perciò segue che $\rho(g)$ è proporzionale all’identità, cioè $\rho(g) = \lambda 1$ dove $\abs{\lambda}=1$. $\square$
Abbiamo anche un paio di corollari:
Corollario. Se $\chi(g) = \chi(1)$ allora $\rho(g) = 1$.
Dimostrazione. Poiché $\chi(g) = \chi(1)$ allora anche $\abs{\chi(g)} = \chi(1)$. Perciò segue che $\rho(g) = \lambda 1$ per una qualche fase $\lambda$. Ma allora $\chi(g) = \tr\rho(g) = \lambda \mathrm{dim}(\rho) = \lambda \chi(1)$, perciò $\lambda=1$ e quindi $\rho(g) \equiv 1$. $\square$
Corollario. Una rappresentazione il cui carattere è costante è banale (non necessariamente irriducibile).
Dimostrazione. Se il carattere è costante, allora abbiamo $\chi(g) = \chi(1)$ per ogni $g \in G$. Perciò segue dal precedente corollario che $\rho(g) \equiv 1$ per ogni $g$, dove $1$ è la matrice identità $N \times N$ dove $N = \mathrm{dim}(\rho)$. Segue che $\rho$ è il prodotto diretto di $N$ volte la rappresentazione banale (che ha dimensione uno). $\square$
Corollario. La parte reale del carattere di una rappresentazione fedele ha un unico massimo nell’identità.
Dimostrazione. Supponiamo che $\chi$ sia il carattere di una rappresentazione fedele $\rho$. Allora dalla proposizione abbiamo che $\mathrm{Re} \chi(g) \leq \abs{\chi(g)} \leq \chi(1)$. Perciò $\mathrm{Re} \chi$ ha valore massimo pari a $\mathrm{Re} \chi(1)=\dim{\rho}$.
Ora dimostriamo che il massimo è unico. Supponiamo che $\mathrm{Re} \chi(g) = \dim{\rho}$. Allora per la proposizione precedente $\mathrm{Re} \chi(g) = \abs{\chi(g)}=\dim{\rho}$. Perciò poiché la parte reale è uguale al valore assoluto abbiamo che $\chi(g)$ è reale e positivo. Quindi $\mathrm{Re} \chi(g) = \chi(g)$.
e quindi per la proposizione $\chi(g)$ è proporzionale all’identità. Ma poiché $\abs{\chi(g)}=\mathrm{Re} \chi(g)$ allora $\chi(g)$ è reale e positivo e quindi $\mathrm{Re} \chi(g) = \chi(g) = \dim{\rho}=\chi(1)$. Perciò segue dal primo corollario che $\rho(g)=1$. Ma poiché $\rho$ è fedele, l’unico elemento mandato alla matrice identità è proprio l’identità, perciò $g=1$ e non abbiamo nessun altro punto di massimo.