Il lemma di Burnside-Cauchy-Frobenius

Nel contesto dei gruppi finiti un risultato che può tornare utile è il lemma di Burnside, che come al solito non è dovuto a Burnside, e perciò è anche detto lemma di Cauchy-Frobenius:

Lemma (Burnside-Cauchy-Frobenius). Consideriamo l’azione di un gruppo $G$ su un insieme $X$. Se $N$ è il numero di orbite dell’azione in $X$ e $F(g)$ è il numero di elementi di $X$ fissati da $g$, allora

$$N = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} F(g)$$

Dimostrazione. Quando si parla di azioni di un gruppo, è sempre utile il teorema orbita-stabilizzatore. Se $\mathrm{Stab}(x)$ è lo stabilizzatore di $x$, ovvero il sottogruppo degli elementi di $G$ che fissano $x$ e $\mathrm{Orb}(x)$ è l’orbita di $x$ rispetto all’azione, allora $\abs{\mathrm{Stab}(x)} \abs{\mathrm{Orb}(x)} = \abs{G}$.

Tuttavia nel nostro caso abbiamo $F(g)$ e non lo stabilizzatore. Ma basta osservare che $\sum_{g \in G} F(g)$ conta il numero di coppie $(g,x)$ tali che l’azione di $g$ lasci $x$ invariante, che è la stessa cosa che viene contata da $\sum_{x \in X}\abs{\mathrm{Stab}(x)}$. Perciò usando il teorema orbita-stabilizzatore abbiamo

$$\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} F(g) =  \frac{1}{\abs{G}} \sum_{x \in X}\abs{\mathrm{Stab}(x)} = \sum_{x \in X}\frac{1}{ \abs{\mathrm{Orb}(x)}} =$$

Possiamo separare quest’ultima somma in una somma prima su tutte le possibili orbite $O$ (infatti $X$ può essere scritto come unione disgiunta delle sue orbite) e quindi

$$= \sum_{x \in X}\frac{1}{ \abs{\mathrm{Orb}(x)}} = \sum_{O} \sum_{x \in O}\frac{1}{\abs{\mathrm{Orb}(x)}} = \sum_{O} = N$$

dove appunto $\abs{\mathrm{Orb(x)}}$ è costante per gli $x$ nella stessa orbita e quindi semplicemente $\sum_{x \in O} = \abs{\mathrm{Orb}(x)}$. Con ciò si conclude la dimostrazione. $\square$

Notiamo che spesso lo spazio delle orbite viene denotato con $X/G$ in analogia con le classi laterali (che sono appunto un caso particolare di questa costruzione).

Possiamo utilizzare il teorema per ri-derivare un risultato ottenuto in un articolo precedente. Avevamo infatti visto che in gruppo $G$ la probabilità $p$ che una coppia di elementi commutano è data da

$$p = \frac{r(G)}{\abs{G}}$$

dove $r(G)$ è il numero delle classi di coniugazione di $G$. Per derivare questo risultato tramite il lemma di Burnside consideriamo l’azione di $G$ su stesso data dalla coniugazione. Allora le orbite sono le classi di coniugazione, perciò $N = r(G)$. Inoltre $F(g)$ è il numero di elementi di $G$ che commuta con $g$, perciò la probabilità che una coppia di elementi commuti è data da

$$p=\frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \frac{F(g)}{\abs{G}} =\frac{r(G)}{\abs{G}}$$

come richiesto. In questo caso abbiamo appunto utilizzato il lemma sopra, notando che per l’azione di coniugazione $N=r(G)$.