Consideriamo una matrice complessa $A$. Allora abbiamo la disuguaglianza
$$\abs{\tr(A)}^2 \leq r(A) \tr(A^\dagger A)$$
dove $r(A)$ è il rango di $A$. Per dimostrare questa disuguaglianza, utilizziamo la decomposizione di Schur, secondo cui una matrice $A$ arbitraria può essere scritta come
$$A = U T U^\dagger$$
dove $U$ è unitaria e $T$ triangolare superiore. Ciò vuol dire in particolare che sulla diagonale di $T$ abbiamo gli autovalori di $A$. Esplicitamente, abbiamo
$$\tr(A) = \tr(T) \qquad \tr(A^\dagger A) =\tr(T^\dagger T)$$
Supponiamo che gli autovalori non-nulli di $A$ siano $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_r$ (con ripetizione). Il numero di autovalori non-nulli (con ripetizione) è uguale al rango di $A$ (per il teorema del rango) e quindi $r=r(A)$. Possiamo controllare esplicitamente che
$$\tr(T^\dagger T) = \sum_{i j} \abs{T_{ji}}^2 \geq \sum_{i=1}^r \abs{\lambda_i}^2 $$
dato che gli elementi diagonali di $T$ sono gli autovalori di $A$. Ricapitolando, abbiamo quindi
$$\tr(A) = \sum_{i=1}^r \lambda_i \qquad \tr(A^\dagger A) \geq \sum_{i=1}^r \abs{\lambda_i}^2$$
Ora la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per i numeri complessi afferma che per due vettori complessi $\mathbf x$ e $\mathbf y$ abbiamo
$$\abs{\expval{\mathbf x, \mathbf y}}^2 \leq \expval{\mathbf x, \mathbf x} \expval{\mathbf y, \mathbf y}$$
dove il prodotto interno è definito come $\expval{\mathbf x, \mathbf y}=\sum_i x_i^* y_i$. Ora sia $\mathbf x$ il vettore con $r$ componenti, i cui componenti sono gli autovalori non-nulli di $A$, cioè $\mathbf x = (\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_r)$. Sia invece $\mathbf y$ il vettore costante uguale ad $1$ con $r$ componenti, cioè $\mathbf y = (1, 1, \ldots, 1)$. Allora $\expval{\mathbf y, \mathbf y} = r$ e perciò
$$\abs{\sum_{i=1}^r \lambda_i}^2 \leq r(A) \sum_{i=1}^r \abs{\lambda_i}^2$$
e quindi relazionando le due somme alle tracce di $A$ otteniamo la disuguaglianza richiesta.
Possiamo anche porci la domanda: sotto quali condizioni la disuguaglianza è un’uguaglianza? Cauchy-Schwarz ci dice che abbiamo uguaglianza quando $\mathbf x$ e $\mathbf y$ sono proporzionali (ignorando il caso banale in cui $\tr(A)=0$). Ma poiché $\mathbf y$ è costante, ciò vuol dire che tutti gli elementi di $\mathbf x$ sono uguali. Ovvero una condizione necessaria per l’uguaglianza è che tutti gli autovalori non-nulli di $A$ siano uguali. Tuttavia anche l’altra disuguaglianza dev’essere soddisfatta: ovvero gli elementi non-diagonali di $T$ devono essere nulli. Il che implica che $T$ è diagonale e quindi $A$ è diagonalizzabile. Perciò abbiamo uguaglianza se e solo se $A$ è una matrice diagonalizzabile i cui autovalori non-nulli sono tutti uguali.