Una semplice disuguaglianza di Bell

Una semplice versione di “disuguaglianza di Bell”, ispirata dall’articolo originale di Einstein sul “paradosso EPR” è stata derivata da Greenberger, Horne, Zeilinger.

Consideriamo uno stato di tre qubit, ovvero tre particelle con spin $1/2$ (cioè due stati). Chiamiamo le tre particelle $a,b,c$ e lo spazio di Hilbert totale sarà dato da $\mathcal{H}_a \otimes \mathcal{H}_b \otimes \mathcal{H}_c$, dove ognuno degli spazi di Hilbert nel prodotto tensoriale è semplicemente $\C^2$. Consideriamo lo stato

$$\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}} \pqty{\ket{\uparrow\uparrow\uparrow}-\ket{\downarrow\downarrow\downarrow}}$$

dove con $\ket{\uparrow\uparrow\uparrow}$ indichiamo lo stato nel prodotto tensoriale in cui i tre spin sono tutti “su” (i due stati $\ket{\uparrow}$ e $\ket{\downarrow}$ sono autostati della terza matrice di Pauli $Z$). Supponiamo di preparare lo stato $\psi$ in un laboratorio, e poi di spedire i tre qubit su tre pianeti diversi (o comunque estremamente lontani l’uno dall’altro). I tre qubit saranno poi misurati indipendentemente lungo un certo asse arbitrario. Chiamiamo $A_X$ il risultato della misurazione lungo l’asse $x$ del qubit $a$, e similmente $B_Y$ ecc. Classicamente, lo spin può prendere due valori soltanto, e quindi abbiamo $A_X =\pm 1$ e similmente gli altri due. Perciò $A_X^2 = B_Y^2=C_Z^2=1$ e quindi supponendo che le tre misure siano indipendenti, abbiamo

$$A_X B_X C_X = (A_X B_Y C_Y) (A_Y B_X C_Y) (A_Y B_Y C_X)$$

Ora vogliamo riprodurre una versione quantistica di questa misurazione. Consideriamo gli operatori

$$\Sigma_0 = X \otimes X \otimes X\\
\Sigma_1 = X \otimes Y \otimes Y\\
\Sigma_2 = Y \otimes X \otimes Y\\
\Sigma_3 = Y \otimes Y \otimes X\\$$

dove $X,Y,Z$ sono le matrici di Pauli, che agiscono sui tre qubit separatamente. L’equazione di prima per il risultato classico corrisponderebbe moralmente a $R_0 = R_1 R_2 R_3$, dove $R_i$ è il risultato della misurazione di $\Sigma_i$. Ma come sappiamo la meccanica quantistica è più complicata e dobbiamo controllare diverse cose. Prima di tutto, è facile verificare che $\Sigma_i^2=1$ poiché $X^2=Y^2=1$; perciò il risultato della misurazione sarà $R_i=\pm 1$.  Tuttavia non è detto che questi operatori siano misurabili simultaneamente. Tuttavia abbiamo $XY = -YX$ (per questo è importante che le due direzioni siano ortogonali) e quindi

\begin{align}
\Sigma_0 \Sigma_1 &= XX \otimes XY \otimes XY=\\
&=XX \otimes (-YX) \otimes (-YX)=\\
&=XX \otimes YX \otimes YX = \Sigma_1 \Sigma_0
\end{align}

Praticamente lo stesso calcolo mostra che in generale $[\Sigma_0, \Sigma_i]=0$. Inoltre abbiamo che

\begin{align}
\Sigma_1 \Sigma_2 &= XY \otimes YX \otimes YY=\\
&=(-YX) \otimes (-XY) \otimes YY=\Sigma_2 \Sigma_1
\end{align}

E quindi le matrici $\Sigma$ commutano tutte l’una con l’altra, $[\Sigma_i, \Sigma_j]=0$. Ciò implica che sono tutte simultaneamente misurabili. Ora supponiamo di misurare tutte le $\Sigma_i$ sullo stato $\ket{\psi}$. Notiamo che $X \ket{\uparrow} = \ket{\downarrow}$ e $X \ket{\downarrow} = \ket{\uparrow}$, mentre $Y \ket{\uparrow} = i\ket{\downarrow}$ e $Y \ket{\downarrow} = -i\ket{\uparrow}$, perciò

$$\Sigma_0 \ket{\psi} =\Sigma_0 \frac{1}{\sqrt{2}} \pqty{\ket{\uparrow\uparrow\uparrow}-\ket{\downarrow\downarrow\downarrow}} = -\ket{\psi}$$

Perciò $\psi$ è un autostato di $\Sigma_0$ con autovalore $-1$; quindi misurando $\Sigma_0$ troveremo sempre $-1$, ovvero $R_0=-1$. Invece per $i=1,2,3$ abbiamo

$$\Sigma_i \ket{\psi} = \ket{\psi}$$

Perciò $\ket{\psi}$ è un autostato di tutti i $\Sigma_i$, e per $i=1,2,3$ l’autovalore è $+1$. Perciò misureremo con certezza $R_1=R_2=R_3 = +1$. Perciò nel caso quantistico avremo $-1 = R_0 = -R_1 R_2 R_3$ mentre nel caso classico, le due quantità sono sempre identiche (invece che opposte).

Qual è la differenza tra i due casi? L’ipotesi cruciale è che nel caso classico possiamo assegnare un valore alla misurazione indipendentemente dal fatto che la misura avvenga o meno: ovvero $A, B, C$ hanno un certo valore indipendentemente dal fatto che le misuriamo o meno. Nel caso quantistico ciò non è vero: infatti $X$ e $Y$ non commutano e quindi non possiamo misurarli simultaneamente. Non ha senso dire che abbiano questo o quel valore: possiamo solo dire che le combinazioni $\Sigma_i$ hanno un certo valore.

Infine, notiamo che mentre nel caso classico sappiamo che le combinazioni $A_X B_X C_X$ e  $(A_X B_Y C_Y) (A_Y B_Y C_Y) (A_Y B_Y C_X)$ sono identiche, non sappiamo quale valore prendano (può essere $+1$ o $-1$). Invece nel caso quantistico sappiamo non solo che $R_0 = -R_1 R_2 R_3$ ma anche che specificamente $R_0 = -1$ e  $R_1 R_2 R_3=+1$ (anzi, addirittura che $R_1=R_2=R_3 = +1$). Perciò in questo caso la meccanica quantistica fornisce strettamente più informazioni della meccanica classica.