Abbiamo visto in un precedente articolo l’abelianizzazione di un gruppo. In questo articolo ne consideriamo una proprietà particolarmente utile.
Dato un gruppo $G$ la sua abelianizzazione è il gruppo abeliano $G^{\mathrm{ab}} = G/[G,G]$ dato dal quoziente di $G$ per il suo sottogruppo dei commutatori. In particolare abbiamo quindi la proiezione sul quoziente $\pi : G \to G^{\mathrm{ab}}$ data da $\pi(g) = [G,G] g$ (la scelta dei coinsiemi destri è una convenzione, legata alla scelta di definire il commutatore di due elementi come $[g,h] = g h g^{-1} h^{-1}$).
La proprietà universale dell’abelianizzazione è il seguente risultato:
Proposizione. Supponiamo che $H$ sia un gruppo abeliano e $f: G \to H$ un omomorfismo. Allora esiste ed è unico l’omomorfismo $F: G^{\mathrm{ab}} \to H$ tale che $f = F \circ \pi$.
In altre parole, ogni omomorfismo da $G$ ad un gruppo abeliano “fattorizza tramite l’abelianizzazione”, cioè si riduce alla composizione di un omomorfismo dell’abelianizzazione più la proiezione canonica. Moralmente, ciò significa che gli omomorfismi da un gruppo qualsiasi ad un gruppo abeliano sono omomorfismi dall’abelianizzazione. Per la dimostrazione utilizzeremo la proprietà universale del quoziente, che abbiamo dimostrato in un altro articolo.
Dimostrazione. Consideriamo la mappa $f$. Poiché $H$ è abeliano, abbiamo
$$f([g,h]) = f(g h g^{-1} h^{-1}) = f(g) f(h) f(g)^{-1} f(h)^{-1} = f(g) f(g)^{-1} f(h) f(h)^{-1} = 1$$
dove abbiamo usato prima il fatto che $f$ è un omomorfismo e poi il fatto che $H$ è un gruppo abeliano. Ciò vuol dire che sul sottogruppo dei commutatori $f([G,G])=1$. Ciò vuol dire che $[G,G] \subset \mathrm{ker}{f}$. A questo punto possiamo applicare la proprietà universale del quoziente che abbiamo visto in un altro articolo e ci dice che
$$F(g [G,G]) = f(g)$$
è l’omomorfismo che cerchiamo. La cosa importante è che questa mappa è ben definita perché $f([G,G])=1$ e quindi due coinsiemi uguali con rappresentante diverso hanno lo stesso $F$, cioè $F(g[G,G])=F(h[G,G])$ se $h[G,G] = g[G,G]$. $\square$
Utilizzeremo questa proprietà in alcuni articoli futuri.