Dato un gruppo qualsiasi $G$, possiamo considerare tutti gli elementi della forma $[g,h] \equiv g h g^{-1} h^{-1}$ che chiamiamo commutatori. Il sottogruppo dei commutatori $[G,G]$ è il sottogruppo di $G$ generato da tutti i commutatori. Ciò vuol dire che ogni elemento di $[G,G]$ può essere scritto come prodotto di commutatori.
Proposizione. Il sottogruppo dei commutatori $[G,G]$ è un sottogruppo normale.
Dimostrazione. Un elemento generico in $[G,G]$ è della forma
$$[g_1, h_1] [g_2, h_2] \cdots [g_n, h_n]$$
per $n$ arbitrario. Ora notiamo che dato un elemento $k$ qualsiasi abbiamo
$$[k g k^{-1}, k h k^{-1}] = k g k^{-1} k h k^{-1} (k g k^{-1})^{-1} (k h k^{-1})^{-1} =k gh g^{-1} h^{-1} k =k [g, h] k^{-1}$$
Perciò sostituendo $g_i \to k g_i k^{-1}$ e $h_i \to k h_i k^{-1}$ nell’elemento generico sopra otteniamo
$$[k g_1 k^{-1}, k h_1 k^{-1}] [k g_2 k^{-1}, k h_2 k^{-1}] \cdots [k g_n k^{-1}, k h_n k^{-1}]=k [g_1, h_1] [g_2, h_2] \cdots [g_n, h_n] k^{-1}$$
Ora il membro sinistro è un prodotto di commutatori e quindi è un elemento dell’abelianizzazione $[G,G]$, mentre il membro destro è uguale all’elemento generico iniziale coniugato da un elemento generico $k \in G$. Segue che $[G,G]$ è normale. $\square$
Notiamo ad esempio che se $G$ è abeliano, allora il commutatore $[g,h]=1$ per ogni elemento $g,h \in G$ e quindi $[G,G]$ è banale. Consideriamo un esempio non banale, cioè il gruppo diedrale $D_N$, i cui elementi sono $N$ rotazioni della forma $r^k$ e $N$ riflessioni della forma $r^k s$ con $r^N = s^2 = (sr)^2 = 1$. Le rotazioni commutano tra loro e quindi hanno commutatore banale. Al contrario per le riflessioni abbiamo $r^{p} s r^{q} s = r^{p-q}$ e quindi $r^{p} s r^{q} s (r^{p}s)^{-1} (r^{q}s)^{-1} = r^{2(p-q)}$. L’ultimo caso che rimane è quello di una rotazione e una riflessione, il che dà di nuovo un elemento della forma $r^{2k}$. Perciò i commutatori in $D_N$ hanno tutti la forma $r^{2k}$. Essi generano un sottogruppo di $D_N$ e abbiamo due casi. Se $N$ è pari, allora poiché $r^{N}=1$ il sottogruppo è chiuso ed è dato dagli $N/2$ elementi della forma $r^{2k}$ per $k=0,1,\ldots, N/2-1$. Se invece $N$ è dispari abbiamo $r = r^{\frac{N+1}{2} 2}$ e quindi anche $r \in [G,G]$. Ne segue che il gruppo $[G,G]$ è dato da tutte le rotazioni $r^k$.
Possiamo utilizzare il sottogruppo dei commutatori per “abelianizzare” il gruppo $G$. Ovvero l’abelianizzazione $G^{\mathrm{ab}}$ di $G$ è definita come
$$G^{\mathrm{ab}}= G / [G,G] $$
L’abelianizzazione di $G$ è un gruppo perché $[G,G]$ è normale. Moralmente, quando quozientiamo via i commutatori li stiamo ponendo uguali all’identità. Perciò, come suggerisce il nome, stiamo dicendo che nel gruppo risultante la moltiplicazione è abeliana. Abbiamo infatti il seguente risultato
Proposizione. L’abelianizzazione $G^{\mathrm{ab}}$ è un gruppo abeliano.
Dimostrazione. Formalmente, gli elementi di $G^{\mathrm{ab}}$ sono coinsiemi della forma $[G,G] g$ dove $g \in G$. Scegliamo i coinsiemi destri invece che sinistri perché corrispondono alla nostra definizione di commutatore (se avessimo voluto i coinsiemi sinistri avremmo dovuto utilizzare $[g,h] = g^{-1} h^{-1} g h$). Considerando il prodotto tra due elementi in $G^{\mathrm{ab}}$ abbiamo
$$([G,G] g) ([G,G] h) \equiv [G,G] gh =[G,G] g h g^{-1} h^{-1} h g = [G,G] h g = ([G,G] h) ([G,G] g)$$
dove abbiamo utilizzato il fatto che $[G,G] g h g^{-1} h^{-1} = [G,G]$ perché $g h g^{-1} h^{-1}$ è un commutatore. Quindi il prodotto in $G^{\mathrm{ab}}$ è abeliano. Altrimenti avremmo potuto dimostrare direttamente che $[G,G] h g = [G,G] g h$. Infatti per definizione di coinsieme, i due sono uguali se e solo se $h g (gh)^{-1} = [h,g] \in [G,G]$, cosa che è vera per definizione di $[G,G]$. $\square$
Nel caso di un gruppo abeliano l’abelianizzazione è uguale al gruppo stesso. Nel caso del gruppo diedrale abbiamo dovuto distinguere i due casi $N$ pari e $N$ dispari. Nel caso $N$ dispari, $[G,G]$ era il gruppo delle rotazioni (con $\abs{[G,G]} = N$). Perciò l’abelianizzazione è il gruppo di ordine due dato dalla riflessione $s$ (a meno di rotazioni). Al contrario se $N$ è pari, $[G,G]$ è il gruppo delle $N/2$ rotazioni pari della forma $r^{2k}$ e quindi l’abelianizzazione $G^{\mathrm{ab}}$ è un gruppo di ordine quattro. In particolare abbiamo due generatori $r$ ed $s$ di ordine due che commutano e quindi è il gruppo $\Z_2 \times \Z_2$.