In questo articolo calcoliamo la pressione di un gas di fotoni in $d$ dimensioni spaziali. Un fotone libero con frequenza $\omega$ avrà energia $E = \hbar \omega$; poiché possiamo avere un numero arbitrario di fotoni (il loro numero non è conservato) abbiamo la funzione di partizione
$$Z_{\omega} = \sum_{N=0}^{\infty} e^{-\beta \hbar \omega N} = \frac{1}{1- e^{-\beta \hbar \omega}}$$
alla temperatura inversa $\beta = 1/(k_B T)$. Il “numero” di fotoni alla frequenza $\omega$ è dato dalla densità degli stati $g(\omega)$ che abbiamo calcolato in un precedente articolo. Perciò otteniamo
$$\log{Z} = \int_0^{\infty} d\omega\, g(\omega) \log{Z_{\omega}} =-\frac{V (d-1)}{(2\pi c)^d} S_{d} \int_0^{\infty} d\omega\,\omega^{d-1} \log{\pqty{1- e^{-\beta \hbar \omega}}}$$
dove $S_d = \frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}$ è la superficie di una sfera in $d$ dimensioni. Possiamo rendere l’integrale adimensionale sostituendo $x = \beta \hbar \omega$ e ottenendo quindi
$$\log{Z} = -\frac{V (d-1)}{(2\pi c \beta \hbar)^d} S_{d} \int_0^{\infty} dx\,x^{d-1}\log{\pqty{1- e^{-x}}}$$
L’integrale può essere calcolato esattamente ed è uguale a
$$\int_0^{\infty} dx\,x^{d-1}\log{\pqty{1- e^{-x}}} = -\frac{1}{d} \,\Gamma(d+1) \zeta(d+1)$$
dove $\zeta$ è la funzione zeta di Riemann. Perciò in totale abbiamo
$$\log{Z} = \frac{(d-1)}{d} \frac{ \Gamma(d+1) \zeta(d+1)}{\Gamma(d/2) 2^{d-1}\pi^{d/2}} \frac{V}{(c \beta \hbar)^d} $$
Dalla funzione di partizione possiamo calcolare diverse quantità che ci interessano. Ad esempio la pressione del sistema è data da
$$p(T) = -\pdv{F}{V} = -\pdv{}{V} \pqty{-\frac{1}{\beta}\log{Z}} = \frac{(d-1)}{d} \frac{ \Gamma(d+1) \zeta(d+1)}{\Gamma(d/2) 2^{d-1}\pi^{d/2}} \frac{1}{(c\hbar)^d \beta^{d+1}} $$
In unità naturali in cui $c=\hbar = k_B=1$ ciò vuol dire che $p(T)/T^{d+1}$ è una costante. In particolare in $d=3$ abbiamo $p(T)/T^4=\pi^2/45 \approx 0.219\ldots$, mentre in $d=2$ abbiamo $p(T)/T^3=\zeta(3)/(2\pi) \approx 0.191\ldots$.
Possiamo calcolare anche l’energia del sistema,
$$E = -\pdv{}{\beta} \log{Z} = (d-1) \frac{ \Gamma(d+1) \zeta(d+1)}{\Gamma(d/2) 2^{d-1}\pi^{d/2}} \frac{V}{(c \hbar)^d} (k_B T)^{d+1}$$
Ciò vuol dire che in $d$ dimensioni $E \propto T^{d+1}$. Quindi in $d=3$ ritroviamo la solita legge di Stefan-Boltzmann $E \propto T^4$, mentre in $d=2$ abbiamo al contrario $E \propto T^3$. Non stiamo a calcolare il coefficiente perché nella legge di Stefan-Boltzmann entrano questioni noiose di angoli.
Un’altra cosa che potremmo calcolare è la legge di Wien. Ritracciando i nostri stati possiamo ottenere la distribuzione dell’energia $E(\omega)$ tale che $E = \int_0^\infty d\omega\,E(\omega)$. Il picco dell’energia $E$ si ottiene alla frequenza
$$\hbar \omega_{\mathrm{max}} = \zeta^* k_B T$$
dove $\zeta^*$ è la soluzione dell’equazione $d-\zeta = d e^{-\zeta}$. Perciò la legge di Wien resta immutata (il picco della frequenza è proporzionale alla temperatura) ma con un coefficiente diverso.