Molto spesso analizzando dei modelli di spin o dei modelli di materia condensata si trovano delle Hamiltoniane della forma
$$H = \sum_{k}\begin{pmatrix} a_k^\dagger & a_{-k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_k & B_k \\ B_k & A_k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_k \\ a_{-k}^\dagger \end{pmatrix}$$
dove $k$ è il momento e gli operatori $a$ soddisfano le relazioni di commutazione canoniche per i bosoni,
$$[a_k, a_p]=[a_k^\dagger, a_p^\dagger] = 0 \qquad [a_k, a_p^\dagger]=\delta_{kp}$$
La forma della matrice è piuttosto generale. Infatti per la simmetria $k \to -k$ i termini non-diagonali devono essere identici. Inoltre i termini diagonali sono in realtà lo stesso termine (cosa che osserviamo mandando di nuovo $k \to -k$) a meno di una costante; perciò possiamo distribuire il coefficiente equamente sui due termini e possiamo quindi prendere i due elementi diagonali identici.
La cosa che viene naturale fare vista questa Hamiltoniana è diagonalizzare la matrice dentro. Questa scelta è però sbagliata perché non preserva le relazioni di commutazione. Nostro scopo è definire nuovi operatori di creazione/distruzione $\gamma$, anch’essi che soddisfino relazioni di commutazione bosoniche, in modo da diagonalizzare l’Hamiltoniana in maniera appropriata. In maniera generale scriviamo
$$\begin{pmatrix} \gamma_k \\ \gamma_{-k}^\dagger \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_k & v_k \\ w_k & z_k\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_k \\ a_{-k}^\dagger \end{pmatrix}$$
Per coerenza (ovvero $\gamma_{-k}^\dagger$ deve essere uguale al complesso coniugato seguito da $k \to -k$ di $\gamma_k$) è necessario avere $z_k = u_{-k}^*$ e $w_k = v_{-k}^*$. Perciò in generale
$$\begin{pmatrix} \gamma_k \\ \gamma_{-k}^\dagger \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_k & v_k \\ v_{-k}^* & u_{-k}^*\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_k \\ a_{-k}^\dagger \end{pmatrix}$$
Ora calcoliamo le relazioni di commutatione tra i $\gamma$, che vogliamo uguali a quelle tra gli $a$. Abbiamo
$$[\gamma_k, \gamma_p^\dagger] = u_k u_p^* [a_k, a_p^\dagger] + v_k v_p^* [a_{-k}^\dagger, a_{-p}] = (\abs{u_k}^2-\abs{v_k}^2) \delta(k-p)$$
Perciò dobbiamo avere
$$\boxed{\abs{u_k}^2-\abs{v_k}^2=1}$$
L’altra relazione da controllare è
$$[\gamma_k, \gamma_p] = u_k v_p [a_k, a_{-p}^\dagger] + v_k u_p [a_{-k}^\dagger, a_{p}] = (u_k v_{-k} -u_{-k} v_k ) \delta(k+p)$$
Perciò dobbiamo avere
$$\boxed{\frac{u_{-k}}{u_k} = \frac{v_{-k}}{v_k}}$$
La maniera più semplice di soddisfare questa relazione è semplicemente di richiedere che $u_{-k}=u_k$ e $v_{-k}=v_k$. Perciò non è più necessario tenere traccia del $+$ o del $-$ e quindi non scriviamo più l’indice $k$, anche se $u$ e $v$ continueranno a dipendere da $k$. A questo punto la trasformazione di Bogoliubov è specificata e possiamo quindi applicarla all”Hamiltoniana:
$$\begin{pmatrix} u^* & v \\ v^* & u\end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u & v \\ v^* & u^*\end{pmatrix}=\\
\begin{pmatrix} A (\abs{u}^2 + \abs{v}^2) + B (uv + u^* v^*) & 2 A u^* v + B ((u^*)^2 + v^2) \\ 2 A u v^* + B (u^2 + (v^*)^2) & A (\abs{u}^2 + \abs{v}^2) + B (uv + u^* v^*)\end{pmatrix}$$
Notiamo in particolare che la matrice di Bogoliubov non è unitaria: infatti ponendo $A=1$ e $B=0$ non otteniamo l’identità. Nel caso bosonico la matrice di Bogoliubov è in realtà una matrice simplettica. Per semplicità scegliamo $u$ e $v$ reali. Allora possiamo risolvere la condizione $u^2-v^2=1$ come $u = \cosh\theta, v = \sinh\theta$. Poiché vogliamo diagonalizzare la matrice sopra, dobbiamo quindi
$$2 A u v + B (u^2 + v^2)=0 \quad\Rightarrow \quad \tanh(2\theta) = -\frac{B}{A}$$
L’autovalore diagonale della matrice risultante è dato da
$$E = A (u^2 + v^2) + 2 B uv = -2 uv \frac{A^2 -B^2}{B}$$
Quindi possiamo calcolare (tramite Wolfram Alpha)
$$uv = -\sinh{\pqty{\frac12\tanh^{-1}(B/A)}} \cosh{\pqty{\frac12\tanh^{-1}(B/A)}} = -\frac{B/A}{2\sqrt{1-B^2/A^2}}$$
E quindi in totale l’energia è data da
$$\boxed{E = \sqrt{A^2-B^2} }$$
L’Hamiltoniana in totale è quindi data da
$$H = \sum_k 2 E_k \gamma_k^\dagger \gamma_k$$
e quindi il sistema è descritto dalle eccitazioni delle quasi-particelle $\gamma_k$ con energia $2 E_k$.