Gli esponenti critici di un sistema di fisica statistica soddisfano tra di loro alcune relazioni non banali. Ad esempio, abbiamo $\alpha + 2\beta + \gamma = 2$, dove $\alpha, \beta, \gamma$ sono gli esponenti critici rispettivamente della capacità termica, della magnetizzazione e della suscettibilità.
Una modo per dimostrare queste relazioni è quello di assumere che l’energia libera vicino alla transizione di fase sia una funzione omogenea delle variabili rilevanti. In un certo senso abbiamo semplicemente spostato il problema – infatti, perché l’energia libera dovrebbe essere omogenea? Tuttavia questa ipotesi è cronologicamente precedente alla giustificazione più soddisfacente basata sul gruppo di rinormalizzazione, ma torna anche utile in pratica perché è semplice da utilizzare.
Consideriamo un punto critico che può essere raggiunto calibrando due parametri in un punto specifico. Il caso classico è il modello di Ising, in cui il punto critico è raggiunto ponendo il campo magnetico $h=0$ e la temperatura $T=T_c$. L’energia libera (o quantomeno la sua parte non regolare), sarà perciò una funzione $f(t,h)$ del campo magnetico $h$ e della temperatura ridotta $t=(T-T_c)/T_c$. L’ipotesi che $f$ sia una funzione omogenea vuol dire che soddisfa la relazione
$$f(\lambda^a t, \lambda^b h) = \lambda f(t,h)$$
per ogni $\lambda$ e alcuni valori speciali degli esponenti $a,b$. Scegliamo una parametrizzazione diversa (ma del tutto equivalente) della relazione di omogeneità, ovvero
$$f(\lambda^{\Delta_t} t, \lambda^{\Delta_h} h) = \lambda^{d} f(t,h)$$
Questa scelta è naturale perché corrisponde alla trasformazione dell’energia libera; in particolare, con questa scelta gli esponenti $\Delta_t$ e $\Delta_h$ corrispondono alle dimensioni di scala delle costanti di accoppiamento rilevanti della teoria di campo conforme che descrive il punto fisso. Queste non sono le dimensioni di scala degli operatori, ma sono strettamente correlate (come vedremo alla fine).
Il fatto che $f$ è omogenea vuol dire essenzialmente che, sebbene abbia due variabili, può essere descritta in modo equivalente da una funzione di una sola variabile. Infatti poiché $\lambda$ è arbitrario possiamo sceglierlo in modo tale che $\lambda^{\Delta_t} t=1$, e ciò dà la relazione
$$f(t,h) = t^{d/\Delta_t} g\pqty{\frac{h}{t^{\Delta_h/\Delta_t}}} $$
dove $g(x) \equiv f(1,x)$. Possiamo quindi calcolare gli esponenti critici in termini delle dimensioni di scala $\Delta_t$ e $\Delta_h$, partendo da questa forma dell’energia libera. Prima di tutto la magnetizzazione,
$$m \sim \pdv{f}{h} \bigg\lvert_{h=0} = t^{\frac{d-\Delta_h}{\Delta_t}} g’\pqty{\frac{h}{t^{\Delta_h/\Delta_t}}} \bigg\lvert_{h=0}$$
Poiché $f(t,h)$ è regolare nel limite in cui $h \to 0$ con $t \neq 0$, allora anche $g$ è regolare e quindi $\lim_{h \to 0} g'(h/t^{\Delta_h/\Delta_t}) = \mathrm{costante}$. Perciò $m \sim t^{\frac{d-\Delta_h}{\Delta_t}}$ e quindi abbiamo ottenuto l’esponente critico per la magnetizzazione,
$$\beta = \frac{d-\Delta_h}{\Delta_t}$$
Per calcolare l’esponente $\alpha$ calcoliamo la capacità termica. Poniamo $h=0$ e troviamo quindi
$$C = -T \pdv{^2 f}{T^2} \sim t^{\frac{d}{\Delta_t}-2}$$
e quindi l’esponente $\alpha$ è dato da
$$\alpha = 2 -\frac{d}{\Delta_t}$$
Ora calcoliamo l’esponente $\delta$. A questo scopo poniamo $t=0$ e $h \neq 0$. Tuttavia l’espressione per $f$ che abbiamo trovato è singolare per $t=0$ e quindi dobbiamo riscriverla. Tornando alla definizione di $f$ come funzione omogenea, stavolta scegliamo $\lambda^{\Delta_h} h= 1$ e quindi otteniamo l’espressione equivalente
$$f(t,h) = h^{d/\Delta_h} \tilde{g}\pqty{\frac{t}{h^{\Delta_t/\Delta_h}}}$$
dove stavolta $\tilde{g}(x) \equiv f(x,1)$. Ora poniamo $t=0$ e $h \neq 0$ e derivando otteniamo
$$m \sim \pdv{f}{h} \sim h^{\frac{d}{\Delta_h}-1}$$
Perciò l’esponente critico $\delta$ è dato da
$$\delta = \frac{\Delta_h}{d-\Delta_h}$$
L’esponente $\gamma$ è legato alla suscettibilità, e abbiamo infatti
$$\chi \sim \pdv{m}{h} \bigg\lvert_{h=0} = t^{\frac{d-2\Delta_h}{\Delta_t}} g^{\prime\prime}\pqty{\frac{h}{t^{\Delta_h/\Delta_t}}} \bigg\lvert_{h=0}$$
Perciò
$$\gamma = \frac{2\Delta_h-d}{\Delta_t}$$
Possiamo verificare che con queste espressioni degli esponenti critici in termini delle dimensioni di scala sono automaticamente verificate le relazioni $\alpha+2\beta+\gamma=2$ e $2-\alpha = \beta(\delta+1)$.
L’ultima espressione che calcoliamo ha a che fare con la lunghezza di correlazione. L’energia libera per unità di volume è composta da una parte singolare $f$ e da una parte regolare $f_{\mathrm{reg}}$ che rimane regolare alla transizione di fase e quindi non contribuisce al comportamento universale. Ora, $f \sim \frac{1}{L^d} \log{Z}$ dove $Z$ è la funzione di partizione. Sappiamo che $\log{Z}$ è adimensionale ed estensiva, perciò scala come $(L/\xi)^d$ (parte singolare) o $(L/a)^d$ (dove $a$ è un cutoff). La parte singolare non dipende dal cutoff perché ha comportamento universale perciò concludiamo che la parte singolare dell’energia libera va come $f \sim \xi^{-d}$. Per definizione $\xi \sim t^{-\nu}$ per $h=0$ e quindi confrontando le due espressioni otteniamo l’ultima formula,
$$ \nu = \frac{1}{\Delta_t}$$
da cui otteniamo l’ultima relazione tra esponenti critici, ovvero $2-\alpha = d\nu$.
Concludiamo la sezione notando la relazione tra la dimensione di scala degli operatori e delle costanti di accoppiamento. Supponiamo che il campo magnetico $h$ sia la costante d’accoppiamento per un operatore a caso, diciamo $\phi$. Allora nell’azione avremo un termine della forma $\int d^d x\, h \phi$. Applicando una trasformazione di scala, $x \to x/\lambda$, $h \to \lambda^{\Delta_h} h$ e $\phi \to \lambda^{\Delta_\phi}\phi$ allora avremo $\int d^d x\, h \phi \to \lambda^{\Delta_h + \Delta_\phi -d}\int d^d x\, h \phi$ e l’invarianza rispetto alle trasformazioni di scala richiede perciò
$$\Delta_\phi = d-\Delta_h$$
Quindi supponendo che $t$ sia associato ad un operatore $\phi$ e $h$ sia associato ad un operatore $s$, abbiamo le relazioni
\begin{align*}
\beta &= \frac{\Delta_\phi}{d-\Delta_s}\\
\alpha &= 2 -\frac{d}{2-\Delta_s}\\
\delta &= \frac{d-\Delta_\phi}{\Delta_\phi}\\
\gamma &= \frac{d-2\Delta_\phi}{d-\Delta_s}\\
\nu &= \frac{1}{d-\Delta_s}
\end{align*}
che sono le stesse riportate da Wikipedia sia nel caso del modello di Ising che nel modello XY. Mentre le i valori delle dimensioni di scala sono delle quantità dinamiche e quindi diverse da modello a modello, le relazioni tra dimensioni di scala ed esponenti critici non dipendono dai dettagli del modello ma sono comuni a tutti i modelli con lo stesso numero di operatori rilevanti.