L’identità di Brahmagupta è l’osservazione che il prodotto di due numeri della forma $a^2+n b^2$ per $n$ fisso e $a,b,n \in \Z$ è di nuovo un numero della stessa forma. Infatti abbiamo
\begin{align*}
(a^2+n b^2)(c^2+n d^2) &= a^2 c^2 + n^2 b^2 d^2 + n (b^2 c^2 + a^2 d^2)=\\
&= (ac \pm nbd)^2 + n (ad \mp bc)^2
\end{align*}
Consideriamo perciò il sottoinsieme di $\Z$ dato dai numeri di questa forma:
$$Q_n = \{ a^2 + n b^2 \,\,\,\, a,b \in \Z \}$$
L’identità di Brahmagupta afferma che $Q_n$ è chiuso rispetto alla moltiplicazione. (A causa del $\pm$ potrebbe sembrare che la moltiplicazione non è una funzione; tuttavia la moltiplicazione tra numeri interi è sempre una funzione, come mostra il passaggio intermedio; semplicemente non possiamo identificare questi numeri banalmente con le coppie $(a,b)$ e tradurre la moltiplicazione in questi termini)
Perciò $Q_n$ è senza dubbio almeno un magma o gruppoide, ovvero un insieme con un’operazione $Q_n \times Q_n \to Q_n$. Inoltre sappiamo bene che la moltiplicazione tra interi è associativa, quindi $Q_n$ è in realtà anche un semigruppo. La moltiplicazione è anche commutativa, per cui $Q_n$ è sicuramente un semigruppo abeliano.
Ora verifichiamo anche che $Q_n$ ha un elemento identità ed è perciò un monoide. L’elemento identità della moltiplicazione è banalmente il numero $1$, che è della forma giusta: infatti basta prendere $a=1$ e $b=0$. Il passo successivo sarebbe capire se $Q_n$ è un gruppo, il che richiede che ogni elemento abbia un elemento inverso. Ma sappiamo che l’inverso di $a^2 + n b^2$ è $1/(a^2+nb^2)$, che non appartiene a $Q_n$. Perciò $Q_n$ non è un gruppo.