Abbiamo visto in questo e questo articolo la corrispondenza tra il modello di Ising classico in una dimensione e il modello di un singolo spin quantistico. In questo articolo calcoliamo esplicitamente la funzione di partizione nei due casi.
Per il modello di Ising classico in una dimensione, avevamo trovato tramite il metodo della matrice di trasferimento, la funzione di partizione (poniamo $\beta=1$)
$$Z= \lambda_+^N + \lambda_-^N \quad \quad\lambda_{\pm} = e^{J} \cosh{B} \pm \sqrt{e^{2J} \sinh^2{B}+e^{-2J}}$$
Vogliamo verificare di ottenere lo stesso risultato anche nel corrispondente sistema quantistico. Avevamo trovato nei precedenti articoli due procedure diverse con significati diversi per la corrispondenza, ma in entrambi i casi il sistema quantistico aveva Hamiltoniana
$$H = a\sigma_z +h\sigma_x = \begin{pmatrix} a & h \\ h & -a \end{pmatrix}$$
i cui autovalori sono $\mu_{\pm} = \pm\sqrt{a^2+h^2}$. Perciò
$$Z = \tr\pqty{e^{-\widetilde{\beta} H}} = e^{\widetilde{\beta}\sqrt{a^2+h^2}}+e^{-\widetilde{\beta}\sqrt{a^2+h^2}}= 2 \cosh{\bqty{\widetilde{\beta}\sqrt{a^2+h^2}}}$$
Ora consideriamo prima il secondo metodo, in cui avevamo considerato il limite $N \to \infty$. La relazione tra $B,J$ e $a,h$ è data da $\widetilde{\beta} = N \Delta \tau$, $\tanh{\pqty{B}} = a\Delta\tau$ e $\frac{e^{-2J}}{\cosh{\pqty{B}}} = h\Delta\tau$, perciò
$$\lambda_{\pm} = e^{J} \cosh{B} \pqty{1 \pm \sqrt{(a^2+h^2) }\Delta\tau }$$
Perciò sostituendo $\widetilde{\beta} = N \Delta \tau$ abbiamo
$$Z = \pqty{e^{J} \cosh{B}}^N \bqty{\pqty{1 + \sqrt{(a^2+h^2) }\frac{\widetilde{\beta}}{N}}^N + \pqty{1 -\sqrt{(a^2+h^2) }\frac{\widetilde{\beta}}{N}}^N}$$
E quindi nel limite $N \to \infty$ i due termini diventano due esponenziali,
$$Z = \pqty{e^{J} \cosh{B}}^N \pqty{e^{\widetilde{\beta}\sqrt{(a^2+h^2)}} + e^{-\widetilde{\beta}\sqrt{(a^2+h^2)}}}\propto 2 \cosh\bqty{\widetilde{\beta}\sqrt{(a^2+h^2)}}$$
Il termine infinito di fronte alla funzione di partizione l’avevamo già anticipato nel precedente articolo, ed è sgradevole ma, pur dovendolo trattare con attenzione, nella maggior parte dei casi non ha effetto. In altre parole è una “parte non-universale della funzione di partizione”.
Ora consideriamo l’altro caso, quello in cui la trasformazione è esatta. In quel caso avevamo trovato
$$\Delta \tau H = -\frac{x A}{\sinh{x}} \pqty{e^{-2J} \sigma_x + \sinh{B}\, \sigma_z } \quad \quad x = \cosh^{-1}{\pqty{\frac{\cosh{\pqty{B}}}{\sqrt{1-e^{-4J}}}}}$$
La forma dell’Hamiltoniana è la stessa di sopra prendendo però $a$ e $h$ come funzioni di $B$ e $J$, mentre di nuovo $N\Delta \tau = \widetilde{\beta}$. Ripristinando anche il prefattore, la funzione di partizione è
\begin{align*}
Z &= \pqty{\frac{e^{J}}{A}}^N \tr\pqty{e^{-\widetilde{\beta} H}}=\\
&=2 \pqty{e^{J} \sqrt{1-e^{-4J}}}^N\cosh{\bqty{\frac{x A N}{\sinh{x}} \sqrt{e^{-4J}+\sinh^2{B}}}}=\\
&=2 \pqty{e^{J} \sqrt{1-e^{-4J}}}^N\cosh{x N}=\\
&=\pqty{e^{J} \sqrt{1-e^{-4J}}}^N (e^{xN} + e^{-xN})=\\
&=\pqty{e^{J} \sqrt{1-e^{-4J}}}^N \bqty{\pqty{\cosh{x}+\sinh{x}}^N + \pqty{\cosh{x}-\sinh{x}}^N}=\\
&=\pqty{e^{J}}^N \sum_{\pm}\pqty{\cosh{B}\pm \sqrt{e^{-4J} +\cosh^2{B}}}^N= \lambda_+^N+\lambda_-^N
\end{align*}
il che dimostra l’uguaglianza.