Sappiamo che $1+2+3=1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Esistono altri tre numeri interi la cui somma è uguale al prodotto? Ovvero supponiamo di avere tre interi $x,y,z > 0$. Vogliamo trovare tutte le soluzioni dell’equazione
$$x+y+z=xyz$$
Una cosa molto spesso utile in matematica è rendere le cose più stringenti possibile. Perciò supponiamo senza perdita di generalità $x \leq y \leq z$. Un’altra cosa che risulta spesso utile è essere il più sistematici possibile. Perciò controlliamo tutti i casi uno dopo l’altro.
Primo caso: $x=y=z$. In tal caso l’equazione è data da $3x=x^3$, che ha per soluzione $x=0$ oppure $x^2=3$, perciò non c’è soluzione negli interi positivi. Concludiamo che i tre numeri non possono essere identici.
Secondo caso: $x=y<z$. Ovvero due numeri uguali e il terzo più grande. Allora l’equazione diventa $2x+z=x^2 z$ e risolvendo per $z$ otteniamo
$$z = \frac{2x}{x^2-1}$$
Possiamo dividere per $x^2-1$ perché è facile controllare che $x=1$ non è una soluzione. Poiché $z$ dev’essere intero, dobbiamo avere $z \geq 1$, il che si trasforma nella disuguaglianza
$$0 \geq x^2-2x-1$$
Ora l’equazione associata ha come soluzione $x = 1 \pm \sqrt{2}$; poiché è una parabola rivolta verso l’alto la soluzione della disequazione è quindi data da $1-\sqrt{2} \leq x \leq 1+\sqrt{2}$. Abbiamo $1+\sqrt{2} \approx 2,40\ldots$ e quindi poiché $x$ è intero positivo la disuguaglianza è equivalente a $1 \leq x \leq 2$. Ma poiché $x \neq 1$ allora l’unica soluzione è $x=2$. Sostituendo, ciò implica $z = 4/3$ che non è intero. Perciò in questo caso non abbiamo nessuna soluzione.
Terzo caso: $x < y=z$. Ovvero due numeri uguali e il terzo più piccolo. Notiamo che nel secondo caso non abbiamo usato da nessuna parte l’ipotesi che $z > x$. Perciò la dimostrazione del secondo caso è valida anche in questo e perciò anche qui non abbiamo nessuna soluzione.
Quarto caso: $x < y < z$. Ovvero tre numeri tutti diversi. Risolviamo di nuovo l’equazione rispetto a $z$, trovando stavolta
$$z=\frac{x+y}{xy-1}$$
Possiamo dividere per $xy-1$ perché $xy=1$ implica $x=y=1$ ma sappiamo che $x \neq y$ per ipotesi. Di nuovo, poiché $z$ è intero positivo allora $z \geq 1$ e ciò implica la disequazione
$$x+y \geq xy-1$$
Spostando i vari termini troviamo $y(1-x) \geq -1-x$. Ora abbiamo due casi: o $x=1$ oppure $x \neq 1$. Prima di tutto, se $x \neq 1$ allora dividiamo per $1-x$, che è negativo, e otteniamo
$$y \leq \frac{x+1}{x-1}$$
Ma poiché per ipotesi $x < y$ allora anche $x <\frac{x+1}{x-1}$, ovvero spostando vari termini otteniamo $x^2-2x-1<0$. Questa è la stessa disuguaglianza del secondo caso, la cui soluzione avevamo visto essere $1 \leq x \leq 2$. Ma poiché $x \neq 1$ allora $x=2$. Sostituendo quindi nella disuguaglianza sopra otteniamo $y \leq 3$. Ma poiché $x < y$ allora $y=3$. Sostituendo in $z$ allora troviamo $z = 5/5=1$ ma ciò è in contraddizione col fatto che $x < y < z$, perciò in questo caso non abbiamo nessuna soluzione. L’ultima ipotesi che rimane da controllare è che $x=1$. Allora troviamo
$$z = \frac{y+1}{y-1}$$
Poiché abbiamo $z > y$ troviamo la ormai solita disuguaglianza $y^2-2y-1 < 0$ la cui unica soluzione accettabile è $y=2$. Sostituendo troviamo $z=3$, che è una soluzione accettabile. Concludiamo che l’unica soluzione dell’equazione è $1,2,3$.
Abbiamo dimostrato che gli tre unici interi positivi la cui somma è uguale al prodotto sono $1,2,3$. In particolare l’intuizione dietro questa dimostrazione è che il prodotto tra tre numeri cresce molto più rapidamente della somma; infatti abbiamo utilizzato crucialmente il fatto che facendo crescere $x$ o $y$, allora $z$ prima o poi dovrà diventare troppo piccolo, cioè non intero.