La misura di Haar di un gruppo di Lie permette di calcolare integrali sul gruppo, cioè
$$ \int_{G}dU \, f(U)$$
ed è definita in maniera implicita come la misura che soddisfa certe condizioni. In particolare, è invariante per traslazioni nel gruppo, cioè
$$ \int_{G}dU \, f(UV) = \int_{G}dU \, f(VU) = \int_{G}dU \, f(U)$$
e inoltre se il gruppo $G$ è compatto allora la misura è finita e può essere scelta normalizzata, ovvero
$$ \int_{G}dU\, 1 = 1$$
Chiaramente ciò è possibile solo se il gruppo $G$ è compatto, altrimenti il gruppo è “infinito” e quindi la misura di Haar di $1$, cioè il “volume” del gruppo, sarà infinito. Per un gruppo finito la misura di Haar è data dalla somma sugli elementi del gruppo.
In pratica sappiamo che la misura di Haar di una combinazione di matrici nella rappresentazione fondamentale, ad esempio, è nulla a meno che la combinazione non trasformi come la rappresentazione banale, cioè sia invariante rispetto a trasformazioni del gruppo stesso. Tuttavia in questo articolo costruiremo esplicitamente la misura di Haar con alcuni esempi. L’idea è la seguente:
- Parametrizziamo il gruppo di Lie.
- Troviamo la “metrica” sul gruppo nella parametrizzazione scelta.
- Definiamo l’integrale come l’integrale su uno spazio curvo.
In generale il gruppo di Lie sarà parametrizzato da delle variabili $x_i$, e la metrica sul gruppo sarà la funzione $g_{ij}$ tale che
$$ \sum_{ij} \abs{dU_{ij}}^2 = \sum_{ij} g_{ij} dx_i dx_j$$
A questo punto l’integrale sullo spazio curvo è dato da
$$\int dU \, f(U) \equiv \int dx_1\,dx_2\,\ldots dx_k \, \sqrt{\det{g}}\, f(x_1, x_2, \ldots, x_k)$$
Come esempio calcoliamo prima di tutto la misura di Haar del gruppo di Lie compatto più semplice, cioè $S^1=\U(1)$. La parametrizzazione è data da un angolo $\theta$ e $U = e^{i\theta}$ per $0 \leq \theta < 2\pi$. Allora abbiamo
$$\abs{dU}^2 = (d\theta)^2$$
e quindi la metrica ha un solo componente $g_{11} = 1$. Perciò
$$\int dU \, f(U) = \int_0^{2\pi} d\theta\,f(\theta)$$
Consideriamo ora il caso più interessante di $G=\SU(2)$. Sappiamo che una matrice nella rappresentazione fondamentale di $\SU(2)$ ha la forma
$$U = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta^*\\ \beta & \alpha^* \end{pmatrix}$$
dove $\alpha$ e $\beta$ sono numeri complessi tali che $\abs{\alpha}^2 +\abs{\beta}^2=1$. Possiamo quindi scegliere una parametrizzazione ponendo prima di tutto
$$\abs{\alpha} =\cos{\theta} \quad \quad \abs{\beta} = \sin{\theta}$$
che risolve l’ultima condizione purché sia il seno che il coseno siano positivi, ovvero $0 \leq \theta \leq \pi/2$. Quindi abbiamo $\alpha = e^{i u} \cos{\theta}$ e $\beta = e^{i v} \sin{\theta}$ con $0 \leq u,v \leq 2\pi$. Perciò
$$U = \begin{pmatrix} e^{i u} \cos{\theta} & -e^{-i v} \sin{\theta}\\ e^{i v} \sin{\theta} & e^{-i u} \cos{\theta} \end{pmatrix}$$
e quindi
$$dU = \begin{pmatrix}
i e^{i u} \cos{\theta}\, du-e^{i u} \sin{\theta}\,d\theta &
i e^{-i v} \sin{\theta}\, dv-e^{-i v} \cos{\theta}\,d\theta\\
i e^{i v} \sin{\theta}\, dv+e^{i v} \cos{\theta}\,d\theta &
-i e^{i u} \cos{\theta}\, du-e^{i u} \sin{\theta}\,d\theta \end{pmatrix}$$
Perciò
\begin{align*}
\sum_{ij} \abs{dU_{ij}}^2 &= \abs{i e^{i u} \cos{\theta}\, du-e^{i u} \sin{\theta}\,d\theta}^2+\abs{i e^{-i v} \sin{\theta}\, dv-e^{-i v} \cos{\theta}\,d\theta}^2+\\
&+\abs{i e^{i v} \sin{\theta}\, dv+e^{i v} \cos{\theta}\,d\theta}^2 +\abs{-i e^{i u} \cos{\theta}\, du-e^{i u} \sin{\theta}\,d\theta }^2=\\
&=\cos^2\theta\, du^2 + \sin^2\theta \,d\theta^2+
\sin^2{\theta}\, dv^2+\cos^2{\theta}\,d\theta^2+\\
&+\sin^2{\theta}\, dv^2+\cos^2{\theta}\,d\theta^2 +
\cos^2{\theta}\, du^2+\sin^2{\theta}\,d\theta^2=\\
&=2\pqty{d\theta^2 +\cos^2\theta\, du^2 +\sin^2{\theta}\, dv^2}
\end{align*}
Ovvero la metrica è data da
$$g = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos^2\theta & 0 \\ 0 & 0 & \sin^2{\theta}\end{pmatrix}$$
dove dobbiamo fare attenzione al conteggio doppio degli indici. Il fatto che la metrica sia diagonale è indice che abbiamo scelto una buona parametrizzazione. Perciò l’integrale sarà
$$\int dU \, f(U) =\int_0^{\pi/2}d\theta \int_0^{2\pi} du \int_0^{2\pi} dv\,\cos\theta\sin\theta\,f(u,v,\theta)$$
Possiamo controllare che la misura è corretta. Infatti $\SU(2) \cong S^3$ e quella che abbiamo scritto è semplicemente la misura di integrazione su $S^3$ espresso nella parametrizzazione di Hopf.