In un articolo precedente abbiamo calcolato lo spazio tra gli autovalori di una matrice reale simmetrica. In questo articolo ripetiamo il calcolo per le matrici complesse hermitiane. Consideriamo una matrice hermitiana $2 \times 2$
$$X = \begin{pmatrix} a & b \\ b^* & c\end{pmatrix}$$
dove $a$ e $c$ sono reali, mentre $b$ è complesso. In maniera del tutto analoga al caso precedente, la distribuzione naturale in questo spazio è data da
$$p(a,b,c) \sim \exp{\pqty{-\frac12 \tr(X X^\dagger)}}$$
che è invariante rispetto alle trasformazioni unitarie $X \to U X U^\dagger$ dove $U U^\dagger = 1$. Abbiamo scelto $X X^\dagger$ (invece che ad esempio $X^2$) perché la densità di probabilità dev’essere positiva, anche se d’altronde in questo caso non cambia nulla perché $X^\dagger=X$ dato che $X$ è hermitiana. Calcolando la traccia e includendo la normalizzazione, abbiamo
$$p(a,b_x, b_y,c) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}^2 \sqrt{\pi}^2} \exp{\pqty{-\frac12 (a^2 + c^2 + 2 b_x^2 + 2b_y^2)}}$$
dove $b = b_x + i b_y$. La differenza degli autovalori è data da
$$\lambda_+-\lambda_- = \sqrt{(a-c)^2+4 \abs{b}^2}$$
Il calcolo pertanto procede esattamente come nel caso precedente. Abbiamo:
$$P(\lambda_+-\lambda_- < s) = \int_{-\infty}^{+\infty}da \, db_x \, db_y \, dc \frac{1}{\sqrt{2\pi}^2 \sqrt{\pi}^2} \exp{\pqty{-\frac12 (a^2 + c^2 + 2 b_x^2 + 2b_y^2)}} \mathbb{I}((a-c)^2+4b_x^2 + 4b_y^2 < s^2)$$
Ora di nuovo trasformiamo
$$u = \frac{a+c}{2}\quad\quad\quad\quad v = a-c \quad\quad\quad\quad w = 2 b_x \quad\quad\quad\quad z = 2b_y$$
in modo da disaccoppiare $u$ e semplificare l’espressione per gli altri termini. Otteniamo quindi
$$P(\lambda_+-\lambda_- < s) = \int_{-\infty}^{+\infty}dv\, \, dw \, dz \frac{1}{8\pi\sqrt{\pi}} e^{-\frac14 (v^2 + w^2 + z^2)} \mathbb{I}(v^2+w^2 + z^2 < s^2)$$
A questo punto giungiamo all’unica differenza del calcolo, perché ora trasformiamo $v,w,z$ in coordinate sferiche invece che in coordinate polari, ottenendo
$$P(\lambda_+-\lambda_- < s) = \int_0^s dr\,\int_0^{\pi} d\theta \,\int_0^{2\pi} d\varphi \frac{1}{8\pi\sqrt{\pi}} r^2 \cos{\theta} e^{-\frac14 r^2} $$
E quindi effettuando le ultime integrazioni otteniamo
$$P(\lambda_+-\lambda_- < s) = \int_0^s dr\,\frac{1}{2\sqrt{\pi}} r^2 e^{-\frac14 r^2} $$
Perciò la distribuzione dei divari degli autovalori di una matrice complessa hermitiana ha densità di probabilità $\frac{1}{2\sqrt{\pi}} r^2 e^{-\frac14 r^2} $. Questa è ad esempio la distribuzione (appropriatamente normalizzata) dei divari tra gli zeri della funzione $\zeta$ di Riemann sufficientemente grandi.