Abbiamo visto in un precedente articolo come rappresentare gli operatori di spin $S^a$ in termini di particelle fermioniche o bosoniche. In questo articolo vediamo una rappresentazione alternativa, detta rappresentazione di Schwinger, in termini di bosoni. Supponiamo di avere un sistema definito su un reticolo, dove ad ogni sito $x$ abbiamo degli operatori di spin $S^{a}_x$ per $a=1,2,3$. In quanto tali, soddisfano le relazioni di commutazione
$$[S^a_x, S^b_y] = i \delta_{xy} \epsilon^{abc} S^c_x$$
Un’Hamiltoniana tipica per un sistema del genere può essere $H = -J \sum_{\expval{xy}} S^{a}_x S^{a}_y$, ma non ci fissiamo su una scelta particolare. Vogliamo esprimere gli operatori di spin $S^a$ in termini di variabili bosoniche. In particolare, dati operatori di creazione bosonici independenti $a_x$ e $b_x$ su ogni sito questi soddisferanno la relazione di commutazione
$$[a_x,a_y^\dagger] = [b_x,b_y^\dagger] =\delta_{xy} \quad \quad [a,b] = [a^\dagger, b^\dagger]=0$$
Possiamo esprimere gli operatori di spin in termini degli operatori bosonici ponendo
$$S^+_x \equiv S^1_x + i S^2_x = a_x^\dagger b_x \quad \quad S^-_x \equiv S^1_x -i S^2_x = b_x^\dagger a_x \quad \quad S^3_x = \frac12 \pqty{a_x^\dagger a_x -b_x^\dagger b_x}$$
In termini degli operatori scaletta le relazioni di commutazione degli operatori di spin sono date da
$$[S^+, S^-] = 2 S^3 \quad \quad [S^3, S^{\pm}] = \pm S^{\pm}$$
Rimuovendo l’indice $x$ per semplicità, possiamo verificare che i bosoni di Schwinger rappresentano correttamente l’algebra degli spin. Abbiamo infatti
\begin{align*}
[S^+, S^-] &= [a^\dagger b, b^\dagger a] =a^\dagger [ b, b^\dagger a] + [a^\dagger , b^\dagger a]b = \\
&=a^\dagger [ b, b^\dagger ]a + b^\dagger [a^\dagger , a]b =\\
&=a^\dagger a -b^\dagger b = 2 S^3\\
\end{align*}
e inoltre
\begin{align*}
[S^3, S^+] &= \frac12 [a^\dagger a, a^\dagger b] -\frac12 [b^\dagger b, a^\dagger b]=\\
&= \frac12 [a^\dagger a, a^\dagger] b -\frac12 a^\dagger [b^\dagger b, b]=\\
&= \frac12 a^\dagger [ a, a^\dagger] b -\frac12 a^\dagger [b^\dagger, b]b=\\
&= \frac12 a^\dagger b +\frac12 a^\dagger b=a^\dagger b = S^+
\end{align*}
correttamente. L’ultima relazione di commutazione è verificabile in maniera simile.
I bosoni di Schwinger rappresentano un numero arbitrario di bosoni. Se vogliamo scegliere una specifica rappresentazione di spin $S$, questa avrà $2S+1$ stati e quindi fisseremo il numero di bosoni su ogni sito, $N_x \equiv a_x^\dagger a_x + b_x^\dagger b_x = 2S$ (più il vuoto). Questo vincolo può essere imposto con un moltiplicatore di Lagrange ed è quindi facile da trattare.
Finora abbiamo trattato il caso solito degli spin che soddisfano la relazione di commutazione di $\SU(2)$. Per $\SU(N)$ avremo in generale $N^2-1$ operatori di spin $S_{\mu\nu}$; la matrice $S_{\mu\nu}$ è hermitiana complessa a traccia nulla, ed è una matrice di operatori. Le relazioni di commutazione sono
$$[S_{\mu\nu}, S_{\rho\sigma}] = S_{\mu\sigma} \delta_{\rho\nu}-S_{\rho\nu} \delta_{\mu\sigma}$$
e possono essere rappresentate da $N$ bosoni di Schwinger ad ogni sito, $b_\mu$ tali che
$$[b_\mu , b_\nu^\dagger] = \delta_{xy} \delta_{\mu\nu} \quad \quad [b_\mu,b_\nu] = [b_\mu^\dagger, b_\nu^\dagger]=0$$
Come nel caso precedente, la rappresentazione di $\SU(N)$ può essere scelta fissando il numero di bosoni, ovvero $N = \sum_{\mu=1}^N b_\mu^\dagger b_\mu$. In questo caso avremo la rappresentazione di $\SU(N)$ con $N$ quadrati in una riga della tabella di Young.