Supponiamo di avere un sistema definito su un reticolo, dove ad ogni sito $x$ abbiamo degli operatori di spin $S^{a}_x$ per $a=1,2,3$. In quanto tali, soddisfano le relazioni di commutazione
$$[S^a_x, S^b_y] = i \delta_{xy} \epsilon^{abc} S^c_x$$
Un’Hamiltoniana tipica per un sistema del genere può essere $H = -J \sum_{\expval{xy}} S^{a}_x S^{a}_y$, ma non ci fissiamo su una scelta particolare. Ci interessa invece trovare una maniera di esprimere gli operatori di spin stessi in termini di variabili fermioniche o bosoniche, dette “rishoni” (termine ebraico). In particolare ogni operatore di spin $S^a_x$ può essere decomposto in termini di operatori fermionici o bosonici $c_x^i$ dove $i=1,2$ è un indice interno al sito (abbiamo perciò due varietà di particelle in ogni sito) ponendo
$$S^a_x = \frac12 \sum_{ij} \pqty{c_x^i}^\dagger \sigma_{ij}^a c_x^j$$
dove $\sigma^a$ è una matrice di Pauli e $\sigma_{ij}^a$ il suo elemento $(i,j)$. La cosa interessante è che questa rappresentazione è valida sia se gli $c$ sono fermioni sia se sono bosoni. Supponiamo ad esempio che siano fermioni, cioè soddisfano relazioni di anticommutazione,
$$\{ c_x^i, c_y^j\}=\{ (c_x^i)^\dagger, (c_y^j)^\dagger\}=0 \quad \quad \quad \{ c_x^i, (c_y^j)^\dagger\} = \delta_{xy} \delta_{ij}$$
Allora abbiamo
\begin{align*}
\require{cancel}
[S^a_x, S^b_y] &= \frac14 \sum_{ijkl} [\pqty{c_x^i}^\dagger \sigma_{ij}^a c_x^j, \pqty{c_y^k}^\dagger \sigma_{kl}^b c_y^l]=\\
&=\frac14 \sum_{ijkl} \sigma_{ij}^a \sigma_{kl}^b \pqty{ \pqty{c_x^i}^\dagger c_x^j \pqty{c_y^k}^\dagger c_y^l -\pqty{c_y^k}^\dagger c_y^l \pqty{c_x^i}^\dagger c_x^j }=\\
&=\frac14 \sum_{ijkl} \sigma_{ij}^a \sigma_{kl}^b \pqty{ \pqty{c_y^k}^\dagger \pqty{c_x^i}^\dagger c_x^j c_y^l + \delta_{xy}\delta_{jk} \pqty{c_x^i}^\dagger c_y^l -\pqty{c_y^k}^\dagger c_y^l \pqty{c_x^i}^\dagger c_x^j }=\\
&=\frac14 \sum_{ijkl} \sigma_{ij}^a \sigma_{kl}^b \pqty{ \cancel{\pqty{c_y^k}^\dagger c_y^l \pqty{c_x^i}^\dagger c_x^j} -\delta_{xy} \delta_{il}\pqty{c_y^k}^\dagger c_x^j + \delta_{xy}\delta_{jk} \pqty{c_x^i}^\dagger c_y^l -\cancel{\pqty{c_y^k}^\dagger c_y^l \pqty{c_x^i}^\dagger c_x^j} }=\\
&=\frac14 \delta_{xy} \sum_{ijkl} \sigma_{ij}^a \sigma_{kl}^b \pqty{ -\delta_{il}\pqty{c_y^k}^\dagger c_x^j + \delta_{jk} \pqty{c_x^i}^\dagger c_y^l }=\\
&=\frac14 \delta_{xy} \pqty{ \sum_{kj} -(\sigma^b \sigma^a)_{kj} \pqty{c_y^k}^\dagger c_x^j + \sum_{il} (\sigma^a\sigma^b)_{il} \pqty{c_x^i}^\dagger c_y^l }=\\
&=\frac14 \delta_{xy} \sum_{ij} [\sigma^a, \sigma^b]_{ij} \pqty{c_x^i}^\dagger c_y^j=\frac12 i \epsilon^{abc} \delta_{xy} \sum_{ij} \sigma^c_{ij} \pqty{c_x^i}^\dagger c_y^j= i \epsilon^{abc} \delta_{xy} S^c_x
\end{align*}
Nella prima riga abbiamo semplicemente scritto il commutatore e tolto tutti i termini costanti (gli elementi di matrice $\sigma^a_{ij}$ sono solo numeri). Nelle righe successive abbiamo anticommutato i vari operatori fermionici in modo da ottenere un termine che si cancella con l’ultimo. È importante in questo caso tenere traccia dei segni in maniera accurata. Abbiamo poi cambiato le etichette nella somma e scambiato $x$ e $y$ in uno dei termini, cosa che possiamo fare grazie alla $\delta_{xy}$. Alla fine abbiamo usato la relazione di commutazione tra matrici di Pauli, ovvero $[\sigma^a, \sigma^b]=2i\epsilon^{abc} \sigma^c$.
Possiamo effettuare lo stesso calcolo anche nel caso in cui gli operatori $c$ siano bosonici, cioè soddisfino le relazioni di commutazione
$$[ c_x^i, c_y^j ]=[ (c_x^i)^\dagger, (c_y^j)^\dagger ]=0 \quad \quad \quad [ c_x^i, (c_y^j)^\dagger] = \delta_{xy} \delta_{ij}$$
In tal caso abbiamo
\begin{align*}
[S^a_x, S^b_y] &= \frac14 \sum_{ijkl} [\pqty{c_x^i}^\dagger \sigma_{ij}^a c_x^j, \pqty{c_y^k}^\dagger \sigma_{kl}^b c_y^l]=\\
&= \frac14 \sum_{ijkl} \sigma_{ij}^a \sigma_{kl}^b\pqty{\pqty{c_x^i}^\dagger [ c_x^j, \pqty{c_y^k}^\dagger c_y^l] + [\pqty{c_x^i}^\dagger, \pqty{c_y^k}^\dagger c_y^l] c_x^j }=\\
&= \frac14 \sum_{ijkl} \sigma_{ij}^a \sigma_{kl}^b\pqty{\pqty{c_x^i}^\dagger [ c_x^j, \pqty{c_y^k}^\dagger ] c_y^l +\pqty{c_y^k}^\dagger [\pqty{c_x^i}^\dagger, c_y^l] c_x^j }=\\
&= \frac14 \sum_{ijkl} \sigma_{ij}^a \sigma_{kl}^b\pqty{\pqty{c_x^i}^\dagger \delta_{xy} \delta_{jk} c_y^l -\pqty{c_y^k}^\dagger \delta_{xy} \delta_{il} c_x^j }=\\
&= \frac14 \delta_{xy} \sum_{ij} \pqty{\sigma^a \sigma^b -\sigma^b \sigma^a}_{ij} \pqty{c_x^i}^\dagger c_y^j=i \epsilon^{abc} \delta_{xy} S^c_x
\end{align*}
Nelle prima due righe abbiamo usato la regola di Leibniz per il commutatore e poi le relazioni di commutazione. In seguito basta semplicemente rietichettare gli indici e usare di nuovo le relazioni di commutazione per le matrici di Pauli come nel caso precedente.
Il fatto che la costruzione includa le matrici di Pauli non ci deve far credere che sia valida solo per spin $1/2$. Infatti le relazioni di commutazione $[S^a_x, S^b_y] = i \delta_{xy} \epsilon^{abc} S^c_x$ sono valide per spin arbitrario, e alla stessa maniera i rishoni sono in grado di rappresentare spin arbitrari. In particolare, il numero di rishoni in un sito è dato da $N_x = \sum_{i} (c_x^i)^\dagger c_x^i$. Poiché $[S^a_x, N_x]=0$ la maggior parte delle Hamiltoniane tipicamente commuterà con $N_x$ e quindi $N_x$ può essere fissato in ogni sito. Una scelta specifica di numero di rishoni per sito fisserà il numero di gradi di libertà e quindi lo spin dei corrispondenti operatori $S$.