Il cosiddetto “criterio di Kelly” è utilizzato da alcuni per stabilire la cifra da investire in un particolare investimento. Ci sono molti dibattiti sulla sua applicabilità pratica, sia perché si basa su ipotesi non dimostrabili, sia perché è difficile stimare i valori delle variabili che entrano in gioco. Chiaramente non stiamo suggerendo strategie di scommesse o investimento.
L’idea è la seguente. Supponiamo di fare una certa scommessa, in cui puntiamo una frazione $f$ del nostro patrimonio $P$. Ci sono due possibilità:
- Vinciamo la scommessa con probabilità $p$, e in tal caso vinciamo una frazione $b$ di quanto abbiamo puntato. Il nostro nuovo patrimonio è perciò $P (1+fb)$.
- Perdiamo la scommessa con probabilità $q=1-p$, e in tal caso perdiamo una frazione $a$ di quanto abbiamo puntato. Il nostro nuovo patrimonio è perciò $P(1-fa)$.
La domanda che ci poniamo è: qual è la frazione ottimale $f$ da puntare sulla scommessa? Secondo il criterio di Kelly, la frazione ottimale è quella che massimizza il tasso di crescita del nostro patrimonio. Questa è un ipotesi, in base alla quale possiamo dedurre la frazione ottimale da puntare. Ma nulla ci dice che questa ipotesi sia ottimale; può essere vera o falsa in diversi contesti.
Supponiamo di effettuare la scommessa $N$ volte. Allora vinceremo in media $Np$ volte e perderemo $N(1-p)$ volte. Allora dopo le $N$ scommesse il nostro patrimonio sarà
$$P’ = P (1+fb)^{Np} (1-fa)^{Nq}$$
Perciò il tasso di crescita dell’investimento è pari a
$$r = (1+fb)^{p} (1-fa)^{q}$$
Si tratta quindi di trovare il valore di $f$ che massimizza $r$. A tal scopo, è equivalente massimizzare il logaritmo
$$\log{r} = p \log{(1+fb)} + q \log{(1-fa)}$$
e derivando rispetto ad $f$ otteniamo
$$\dv{}{f} \log{r} = \frac{pb}{1+fb} -\frac{qa}{1-fa}$$
Possiamo quindi studiare il segno della derivata; troviamo che la derivata è positiva se e solo se
$$f \leq \frac{p}{a}-\frac{q}{b} \equiv f^*$$
In particolare quindi per $f < f^*$ il tasso $r$ cresce con $f$, mentre per $f > f^*$ il tasso di crescita diminuisce con $f$. Perciò il punto $f=f^*$ è il punto di massimo del tasso di crescita $r$. Perciò la frazione ottimale da scommettere secondo il criterio di Kelly è
$$f^* = \frac{p}{a}-\frac{q}{b}$$
Notiamo in particolare che $f^*$ può anche essere maggiore di $1$; in tal caso converrebbe investire una quantità di soldi superiore al proprio patrimonio. Tuttavia l’applicabilità del criterio di Kelly non è generale: in particolare molto raramente siamo in grado di stimare le probabilità $p$ e $q$ o anche solo le frazioni vinte/perse $a$ e $b$. Non conoscere con esattezza questi valori aumenta l’incertezza e quindi il rischio della scommessa, cambiando il calcolo in una maniera che non può essere predetta dal criterio di Kelly.