Il modello $\O(N)$ consiste in $N$ campi scalari $\phi_i$ con Hamiltoniana
$$H = \sum_{i=1}^N \frac12 \partial_\mu \phi_i \partial_\mu \phi_i + \frac12 m^2 \sum_{i=1}^N\phi_i \phi_i + g \pqty{\sum_{i=1}^N\phi_i \phi_i}^2$$
e simmetria $\O(N)$ data da $\vec\phi \to O \vec\phi$ con $O \in \O(N)$, ovvero $O^T O = 1$. Ora introduciamo una perturbazione che rompe la simmetria $\O(N)$,
$$V =\lambda \sum_i \phi_i^4$$
A questo punto la simmetria è rotta ad un sottogruppo isomorfo a $\Z_2^N \times S_N$ dove $S_N$ permuta gli $N$ campi e ogni $\Z_2$ corrisponde a cambiare il segno di un campo $\phi_i \to -\phi_i$. L’Hamiltoniana dev’essere limitata inferiormente perché la teoria abbia senso. Nel caso originale, cioè con solo $H$, ciò è garantito se $g > 0$. Qual è la condizione equivalente per $H+V$?
Chiaramente per $\phi_i$ finito, l’Hamiltoniana è finita perché è un polinomio, perciò le cose possono andare storte solo all’infinito. Il comportamento all’infinito è determinato dai termini quartici, per cui ci interessa studiare
$$g \pqty{\sum_{i=1}^N\phi_i \phi_i}^2 + \lambda \sum_i \phi_i^4$$
Per risolvere questo problema, utilizzeremo una disuguaglianza. Definiamo la $p$-norma $\norm{\vec x}_p = \pqty{\sum_{i=0}^N \abs{x_i}^p}^{1/p}$. Allora abbiamo la disuguaglianza
$$\norm{\vec x}_4^4 \leq \norm{\vec x}_2^4 \leq N \norm{\vec x}_4^4 $$
che è anche ottimale, nel senso che la disuguaglianza può diventare uguaglianza. Dimostriamo questo fatto utilizzando la disuguaglianza di Hoelder (che è appunto ottimale) per $p,q \geq 1$ reali,
$$\sum_{i=1}^N \abs{x_i y_i} \leq \norm{\vec x}_p \norm{\vec y}_q \quad \quad \quad \quad \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1$$
Ponendo $p=q=2$, $y_i=1$ e $x_i=u_i^2$ otteniamo il lato destro della disuguaglianza. Tra l’altro per curiosità, più in generale vale che $\norm{\vec x}_r \leq N^{1/r-1/s}\norm{\vec x}_s$ per qualsiasi $r < s$, che è la disuguaglianza delle medie generalizzate.
Per dimostrare il lato sinistro della disuguaglianza, invece, dimostriamo in generale che $\norm{\vec x}_q \leq \norm{\vec x}_p$ per $1 \leq p \leq q$. Notiamo che per ogni $p$ abbiamo $\norm{\lambda \vec x}_p = \abs{\lambda} \norm{\vec x}_p$. Perciò possiamo assumere senza perdita di generalità che $\norm{\vec x}_p=1$. Ciò implica in particolare che $\abs{x_i} \leq 1$ per ogni $i$. In questo caso abbiamo inoltre $\abs{x_i}^q \leq \abs{x_i}^p$ per $p \leq q$ e quindi in particolare $\norm{\vec x}_q^q \leq 1$, il che conclude la dimostrazione.
Ora notiamo che possiamo scrivere
$$g \pqty{\sum_{i=1}^N\phi_i \phi_i}^2 + \lambda \sum_i \phi_i^4 = g \norm{\vec \phi}_2^4 + \lambda \norm{\vec \phi}_4^4$$
Ora possiamo applicare la disuguaglianza. Nel caso $g > 0$ otteniamo
$$(\lambda+g) \norm{\vec \phi}_4^4 \leq g \norm{\vec \phi}_2^4 + \lambda \norm{\vec \phi}_4^4 \leq gN \norm{\vec \phi}_4^4 $$
Poiché appunto la disuguaglianza è ottimale, mandando $\vec\phi$ all’infinito il risultato sarà positivo se e solo se $\lambda + g > 0$. Al contrario nel caso $g < 0$ la disuguaglianza si inverte e abbiamo
$$(\lambda+Ng) \norm{\vec \phi}_4^4 \leq g \norm{\vec \phi}_2^4 + \lambda \norm{\vec \phi}_4^4 \leq (\lambda+g) \norm{\vec \phi}_4^4 $$
Perciò per $g < 0$ la condizione necessaria e sufficiente è $\lambda+Ng > 0$.