Abbiamo visto in un precedente articolo che provando a mettere i fermioni su reticolo in maniera ingenua vengono fuori dei doppioni indesiderati. Questo fenomeno è dovuto all’anomalia chirale, e quindi abbiamo visto che rompere esplicitamente la simmetria chirale risolve il problema pur dovendo pagare un certo prezzo.
In questo articolo vediamo una soluzione diversa dello stesso problema. Consideriamo un’azione fermionica generica
$$ S = \bar\psi D \psi $$
dove $D$ è un apposito operatore, ad esempio l’operatore di Dirac per i fermioni liberi oppure l’operatore di Dirac minimamente accoppiato ad un campo di calibro. La simmetria chirale è data dalla trasformazione infinitesimale (dove ignoriamo termini quadratici e di ordine più elevato)
$$\psi \to \psi e^{i\epsilon \gamma_5} = \psi + \epsilon \gamma_5 \psi \quad \quad \quad \bar\psi \to \bar\psi e^{i\epsilon \gamma_5} = \bar\psi + \epsilon \bar\psi \gamma_5$$
È facile perciò verificare che è una simmetria dell’azione se l’operatore $D$ soddisfa
$$D \gamma_5 + \gamma_5 D = 0 $$
cioè se $D$ anticommuta con $\gamma_5$. Abbiamo visto però che la simmetria chirale è anomala, e questa anomalia causa la comparsa dei doppioni su reticolo. L’idea è di modificare la simmetria chirale. Infatti supponiamo che $D$ soddisfi la cosiddetta relazione di Ginsparg-Wilson,
$$D \gamma_5 + \gamma_5 D = a D \gamma_5 D$$
Questa è una versione leggermente modificata della simmetria chirale, e in particolare le due coincidono nel limite del continuo $a\to 0$. Poiché tuttavia la simmetria chirale è rotta su reticolo ad ogni $a$ finito, i doppioni non compaiono. Un’azione che soddisfi la relazione di Ginsparg-Wilson soddisfa una versione modificata della simmetria chirale data da
$$\psi \to \psi + \epsilon \gamma_5 (1-aD) \psi \quad \quad \quad \bar\psi \to \bar\psi + \epsilon \bar\psi \gamma_5$$
come è facile dimostrare sostituendo nell’azione. Il vantaggio di questa relazione è che abbiamo una simmetria chirale modificata esatta per ogni valore di $a$, e ciò protegge la massa dei fermioni dalla rinormalizzazione che causa problemi nella formulazione di Wilson. Inoltre non abbiamo neanche doppioni. È stato inoltre dimostrato che nel limite del continuo questa simmetria dà la corretta anomalia chirale (la trasformazione sopra è infatti anomala).
L’unico problema con questa formulazione è trovare un appropriato operatore $D$, cioè un operatore che soddisfi la relazione di Ginsparg-Wilson. Ne esiste solo uno noto, cioè il cosiddetto operatore di sovrapposizione (overlap operator). Per derivarlo scriviamo l’ansatz $D = 1+\gamma_5 H$. Allora ponendo $a=1$ per semplicità la relazione di Ginsparg-Wilson diventa semplicemente $H^2=1$. A questo punto scegliamo $H = \mathrm{sgn}(\gamma_5 D_W)$ dove $D_W$ è l’operatore di Wilson, e quindi
$$D = 1+\gamma_5 \mathrm{sgn}(\gamma_5 D_W)$$
dove $\mathrm{sgn}$ è semplicemente la funzione segno applicata ad una matrice. Poiché è indefinita nello zero dobbiamo assicurarci che $D_W$ non abbia nessun autovalore nullo. Si può dimostrare che ciò avviene dando a $D_W$ una massa negativa in un certo intervallo. Questa massa negativa è irrilevante e infatti l’operatore di sovrapposizione $D$ descrive fermioni a massa nulla.
Il problema con questo tipo di fermioni è che la funzione segno è difficile da calcolare numericamente, e quindi simulare con questo tipo di fermioni è molto costoso. Per questo motivo, sebbene abbiano notevoli vantaggi, in genere non sono utilizzati nelle simulazioni.