Abbiamo visto la formula di Eulero-Maclaurin, che mette in relazione la sommatoria di una funziona con il suo integrale. In questo articolo vediamo invece una disuguaglianza che mette in relazione di nuovo la sommatoria e l’integrale di una funzione sull’intera retta reale. Seguiamo questo articolo. Il risultato è il seguente: se $f$ è una funzione continua, integrabile e di variazione finita, allora
$$\abs{\sum_{n\in \mathbb{Z}} f(n) -\int_{\R} f(x) \, dx} \leq \frac{1}{2} V(f)$$
dove $V(f)=\int_{\R}\abs{f'(x)}dx$ è la variazione totale di $f$. Inoltre la sommatoria è convergente.
Notiamo che nelle ipotesi del teorema non abbiamo supposto che $f$ sia derivabile, ma abbiamo comunque utilizzato la derivata $f’$ per definire $V(f)$. Questa derivata è definita solo all’interno di integrali, e perciò non è infatti necessario che $f$ sia derivabile, ma è sufficiente che sia derivabile debolmente. Inoltre la variazione totale di una funzione in $L^1$ può essere calcolata usando la derivata debole, come mostrato qui.
La dimostrazione è la seguente. Consideriamo un intervallo finito $[a,b]$. Allora possiamo riscrivere la sommatoria come un integrale utilizzando una funzione delta:
$$\sum_{n\in \mathbb{Z} \cap [a,b]} f(n) = \int_a^b f(x) \sum_{n\in \mathbb{Z}} \delta(x-n) \, dx$$
dove $\mathbb{Z} \cap [a,b]$ sono quegli interi contenuti nell’intervallo $[a,b]$. Allora abbiamo
$$\int_a^b f(x) \, dx -\sum_{n\in \mathbb{Z} \cap [a,b]} f(n) = \int_a^b f(x) \bqty{1-\sum_{n\in \mathbb{Z}} \delta(x-n)} \, dx$$
Come abbiamo visto in un precedente articolo, il termine che moltiplica $f$ nell’integrale può essere scritto come una derivata,
$$\bqty{1-\sum_{n\in \mathbb{Z}} \delta(x-n)} = \dv{B(x)}{x} \quad \quad B(x) = x -\lfloor x \rfloor+C$$
dove $\lfloor x \rfloor$ è la parte intera di $x$ e $C$ è una costante arbitraria. Perciò integrando per parti otteniamo
\begin{align*}
\int_a^b f(x) \, dx -\sum_{n\in \mathbb{Z} \cap [a,b]} f(n) &= \int_a^b f(x) \bqty{1-\sum_{n\in \mathbb{Z}} \delta(x-n)} \, dx=\\
&=B(b) f(b)-B(a) f(a)-\int_a^b f'(x) B(x) dx
\end{align*}
Ora supponiamo che $B(x) \leq M$ per un qualche $M$. Allora per la disuguaglianza triangolare avremo
$$\abs{\int_a^b f(x) \, dx -\sum_{n\in \mathbb{Z} \cap [a,b]} f(n)} \leq M\pqty{\abs{f(b)}+\abs{f(a)}} + M \int_a^b \abs{f'(x)} dx$$
Per avere la disuguaglianza più stretta possibile ci serve quindi che $M$ sia più piccola possibile. La funzione $x -\lfloor x \rfloor$ è nient’altro che la parte frazionaria di $x$ ed è quindi compresa tra $0$ e $1$. Perciò la costante ottimale è $C=-1/2$, nel qual caso $\abs{B(x)} \leq 1/2$ e quindi $M=1/2$.
Ora se $f$ è integrabile e ha variazione finita allora anche $f’$ è integrabile e quindi $f(x)$ tende a zero all’infinito, come abbiamo visto in un precedente articolo. Prendendo quindi il limite $a\to -\infty$ e $b \to \infty$ otteniamo il teorema che vogliamo. Per quando riguarda la convergenza della serie, notiamo che possiamo rimpiazzare $f(x)$ con $\abs{f(x)}$ nella proposizione, e quindi la disuguaglianza afferma che le somme parziali di $\sum_{n\in \mathbb{Z}} \abs{f(n)}$ sono limitate. Poiché $\abs{f(n)} \geq 0$, allora le somme parziali sono monotone crescenti e limitate, perciò convergenti. Ne segue che $\sum_{n\in \mathbb{Z}} f(n)$ è assolutamente convergente.