Supponiamo di avere due matrici $A$ e $B$. Sappiamo che se $A$ e $B$ sono diagonalizzabili e commutano, ovvero $[A,B]=0$, allora $A$ e $B$ sono diagonalizzabili simultaneamente. Ciò significa che esiste una base in cui tanto $A$ quanto $B$ sono diagonali; ciò non significa tuttavia che se $x$ è un autovettore di $A$, allora è anche un autovettore di $B$. In questo articolo chiariamo brevemente la distinzione tra le due cose.
Se $x$ è un autovettore di $A$, allora $Ax = \lambda x$ per un qualche $\lambda$. Ora moltiplicando entrambi i lati con $B$ otteniamo $BAx = \lambda B x$
ma poiché $A$ e $B$ commutano, possiamo scambiarli nel lato sinistro ottenendo $A Bx = \lambda B x$. Ciò vuol dire che $Bx$ è anch’esso un autovettore di $A$ con autovalore $\lambda$. Ora abbiamo due possibilità:
- Se l’autovettore ha molteplicità pari a uno, cioè è non-degenere, allora per definizione tutti gli autovettori con autovalore $\lambda$ sono della forma $cx$ per un qualche scalare $c$. Perciò, poiché $Bx$ è un autovettore, allora $Bx = c x$ e quindi $x$ è anche un autovettore di $B$.
- Se l’autovettore ha molteplicità maggiore di uno, cioè è degenere, allora un autovettore generico è della forma $\sum_{i} c_i x_i$ dove $x_1=x$, gli $c_i$ sono degli scalari e $A x_i = \lambda x_i$. In questo caso sappiamo soltanto che $B x_i = \sum_{j} c_j x_j$, ma non è detto che gli $x_i$ individualmente siano degli autovettori di $B$. Poiché tuttavia sappiamo (per ipotesi) che $B$ è diagonalizzabile, allora possiamo restringere $B$ all’autospazio di $A$ con autovalore $\lambda$ e diagonalizzarla. Allora avremo degli autovettori $y_i = \sum_{j} c_{ij} x_j$ tali che $B y_i = \mu_i y_i$ e inoltre $A y_i = \lambda y_i$.