Di recente in un calcolo di fisica è venuta fuori la seguente identità tra coefficienti binomiali:
$$\frac{1}{2^{n}}{2n \choose n} = \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} {n \choose 2k} {2k \choose k} \frac{1}{2^{2k}}$$
Questa formula non sembra lasciarsi dimostrare per induzione. Invece facciamo uso dei seguenti integrali,
$$\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos^{2k}{\theta}\,d\theta=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin^{2k}{\theta}\,d\theta=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \cos^{2k}{\theta}\,d\theta=\frac{1}{2^{2k}} {2k \choose k} $$
La dimostrazione di questi integrali è standard: integrando ognuno per parti otteniamo una formula ricorsiva per diversi valori di $k$, che può poi essere risolta esattamente. Utilizzando l’ultimo integrale otteniamo per la sommatoria,
$$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} {n \choose 2k} {2k \choose k} \frac{1}{2^{2k}} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\theta \, \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \cos^{2k}{\theta} {n \choose 2k}$$
Ora il teorema binomiale di Newtown afferma che
$$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k \quad \quad \quad (1-x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^k$$
Perciò sommando le due
$$(1+x)^n + (1-x)^n = \sum_{k=0}^n \bqty{1+(-1)^k} {n \choose k} x^k = 2\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} {n \choose 2k} x^{2k}$$
Perciò ponendo $x=\cos\theta$ e usando le formule di bisezione del seno e del coseno otteniamo
$$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \cos^{2k}{\theta} {n \choose 2k} = \frac12 \bqty{(1+\cos\theta)^n + (1-\cos\theta)^n} = \frac{2^n}{2}\bqty{\cos^{2n}{(\theta/2)} + \sin^{2n}{(\theta/2)}}$$
Perciò sostituendo la sommatoria iniziale diventa
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} {n \choose 2k} {2k \choose k} \frac{1}{2^{2k}} &= \frac{1}{2\pi} \frac{2^n}{2} \int_0^{2\pi} d\theta \bqty{\cos^{2n}{(\theta/2)} + \sin^{2n}{(\theta/2)}}=\\
&=\frac{2^n}{2\pi} \int_0^{\pi} d\phi \bqty{\cos^{2n}{(\phi)} + \sin^{2n}{(\phi)}}=\\
&=\frac{2^n}{2} 2 \frac{1}{2^{2n}} {2n \choose n} = \frac{1}{2^{n}} {2n \choose n}
\end{align*}
dove abbiamo sostituito $\phi=\theta/2$ e poi utilizzato gli integrali sopra. Ciò conclude la dimostrazione.