Consideriamo la serie data da
$$f(z) = \sum_{n=0}^\infty z^{a^n}$$
dove $a > 1$ è un intero positivo. Questa serie viene detta lacunare perché solo le potenze di $a$ appaiono, e quindi tra un termine e un altro della serie ci sono tanti “vuoti”, cioè potenze che non appaiono.
Ora, la serie ha raggio di convergenza $1$. Infatti $f(1)=\sum_{n=0}^\infty 1=\infty$, perciò il raggio di convergenza è minore o uguale ad $1$. Inoltre per ogni $z$ tale che $\abs{z} < 1$ abbiamo $\abs{z}^{a^n} < \abs{z}^n$ poiché $a$ è un intero positivo e quindi poiché $\sum_{n=0}^\infty \abs{z}^{n}$ converge assolutamente per ogni $\abs{z} < 1$, anche $f(z)$ converge assolutamente per ogni $\abs{z} < 1$ ed ha quindi raggio di convergenza $1$. Inoltre abbiamo, almeno formalmente,
$$f(z^a)=f(z)-z$$
Ponendo $z^a=1$, ovvero supponendo che $z$ sia una radice $a$-esima dell’unità, poiché $f(1)=\infty$ abbiamo anche $f(z)=\infty$, per cui $f(z)$ ha una singolarità sul cerchio unitario in ogni radice $a$-esima dell’unità. Tuttavia notiamo anche che
$$f(z^{a^k})=f(z^{a^{k-1}})-z^{a^{k-1}}$$
Perciò ponendo di nuovo $z^{a^k}=1$ e procedendo per induzione, otteniamo che $f(z)$ ha una singolarità in tutte le radici $a^k$-esime dell’unità per ogni intero positivo $k$. Queste radici formano un sottoinsieme denso del cerchio unitario. Perciò questa serie – ed è una proprietà comune delle serie lacunari – non solo diverge in alcuni punti nel cerchio del raggio di convergenza (come è comune) ma diverge in un sottoinsieme denso di tale cerchio.
Un altro esempio dello stesso tipo è la serie
$$g(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z^n-1}$$
Anch’essa ha raggio di convergenza $1$, e converge per $\abs{z}< 1$, ma diverge per ogni $z$ che è una radice $n$-esima dell’unità per qualche $n$, e quindi diverge in un sottoinsieme denso del cerchio unitario. Rispetto alla serie precedente, all’interno del suo raggio di convergenza possiamo espandere la frazione in serie e quindi $g(z)$ assomiglia ad una normale serie di potenze.
Questi due sono esempi di serie di potenze convergenti in un certo sottoinsieme di $\C$ che però non possono essere prolungate analiticamente all’infuori di questo sottoinsieme. Per prolungare analiticamente una funzione definita tramite una serie convergente in $U$ ad un insieme $U’$, infatti, è necessario che la serie converga in $U’ \cap U \neq 0$. Poiché la serie converge in un sottoinsieme, allora definirà la stessa funzione analitica. Un esempio è dato qui su Wikipedia. Continuando a spostare così il dominio della funzione possiamo in linea di principio espanderla dappertutto. Il problema si verifica quando, come nel nostro caso, la serie è divergente in un sottoinsieme denso del suo bordo, e perciò è impossibile trovare un’intersezione con un dominio più grande in cui la serie converga.