Come abbiamo classificato i gruppi di ordine $pq$, quelli di ordine $p^2$ e quelli di ordine $p^3$, ora procediamo a classificare i gruppi di ordine $p^2 q$ dove $p$ e $q$ sono primi. Purtroppo in questo caso ci accontentiamo di descrivere i gruppi come prodotti semidiretti senza una caratterizzazione esplicita, comunque ciò è sufficiente per costruirli per ogni scelta di $p$ e $q$.
Come nei casi precedenti procediamo utilizzando i teoremi di Sylow. Avremo dei sottogruppi$-p$ di Sylow, che saranno i sottogruppi di ordine $p^2$ e inoltre avremo anche dei sottogruppi$-q$ di Sylow, che saranno i sottogruppi di ordine $q$. Siano $n_p$ ed $n_q$ il numero di tali sottogruppi. Allora per il terzo teorema di Sylow abbiamo
\begin{align*}
n_p \equiv 1 \,\,\, \mathrm{mod}\, p \quad \quad \quad & n_p | q\\
n_q \equiv 1 \,\,\, \mathrm{mod}\, q \quad \quad \quad & n_q | p^2
\end{align*}
Perciò $n_p = 1, q$ mentre invece $n_q = 1, p, p^2$.
Supponiamo che $p > q$. Allora in tal caso $n_p=1$, perché altrimenti $p | (q-1)$, ma ciò non è possibile perché $p > q$. Perciò l’unico sottogruppo$-p$ di Sylow è normale (per un corollario al secondo teorema di Sylow). Essendo un gruppo di ordine $p^2$, è pertanto isomorfo a $\Z_{p^2}$ oppure a $\Z_p \times \Z_p$, come avevamo visto. Chiamiamo il sottogruppo$-p$ $\mathcal{S}_p$. Essendo normale, allora $G/\mathcal{S}_p$ è un gruppo ed ha ordine pari a $q$. Pertanto è il gruppo ciclico $\Z_q$. Inoltre gli ordini di $\Z_q$ e $\mathcal{S}_p$ sono coprimi, perciò per il teorema di Schur-Zassenhaus $G$ è un prodotto semidiretto dei due, $G\cong \Z_q \ltimes \mathcal{S}_p$.
Tali prodotti semidiretti sono classificati dagli omomorfismi $\Z_q \to \mathrm{Aut}(\mathcal{S}_p)$, come abbiamo visto in un precedente articolo. Gli omomorfismi banali danno luogo ai gruppi abeliani $\Z_{p^2 q}$ e $\Z_p \times \Z_{pq}$. Ci serviremo del fatto che $\abs{\mathrm{Aut}(\Z_{p^2})} = p(p-1)$ come mostrato qui e $\abs{\mathrm{Aut}(\Z_p \times \Z_p)} = (p^2-1)(p^2-p)$ come mostrato qui. Perché esista un omomorfismo $\Z_q \to \mathrm{Aut}(\mathcal{S}_p)$, il gruppo $\mathrm{Aut}(\mathcal{S}_p)$ deve avere un elemento di ordine $q$, e perciò $q$ deve dividere l’ordine di $\mathrm{Aut}(\mathcal{S}_p)$. Nel caso in cui $\mathcal{S}_p = \Z_{p^2}$ abbiamo $\abs{\mathrm{Aut}(\Z_{p^2})} = p(p-1)$ e quindi poiché $q$ è primo, abbiamo $q | p$ oppure $q | (p-1)$. Ma il primo caso non è possibile perché implicherebbe $q=1$ (non primo) oppure $q = p$ (contro l’ipotesi $p > q$). Perciò se $q | (p-1)$ abbiamo un prodotto semidiretto non banale $\Z_q \ltimes \Z_{p^2}$ (ma non abbiamo dimostrato che è unico: potremmo avere diversi gruppi scegliendo diversi omomorfismi), altrimenti solamente il prodotto diretto. Nel caso in cui invece $\mathcal{S}_p = \Z_p \times \Z_p$, allora $q$ deve dividere $ (p^2-1)(p^2-p)=p(p-1)^2(p+1)$, cioè $q$ deve dividere $p-1$ oppure $p+1$ e in entrambi i casi otterremmo dei prodotti semidiretti $\Z_q \ltimes (\Z_p \times \Z_p)$.
Se invece $q > p$ allora consideriamo le tre possibilità per $n_q = 1, p, p^2$. Se $n_q=1$ allora il sottogruppo$-q$ di Sylow è normale. Se invece $n_q = p$ allora $q | (p-1)$, ma ciò non è possibile perché $q > p$. Se invece $n_q = p^2$ allora $q | (p^2-1)$, ovvero $q | (p-1)(p+1)$. Poiché $q$ è primo allora divide uno dei due fattori, ma non può dividere $p-1$ perché $q > p$, perciò divide $p+1$ ma poiché $q > p$ allora necessariamente $q=p+1$. Ma poiché $p$ e $q$ sono primi e consecutivi, sono necessariamente $p=2$ e $q=3$, e quindi il gruppo ha ordine $12$.
Perciò se il gruppo non ha ordine $12$, allora $n_q=1$ e quindi abbiamo un sottogruppo $\Z_q$ normale. Ne segue che $G/\Z_q$ ha ordine $p^2$, ed è quindi isomorfo a $\Z_{p^2}$ oppure a $\Z_p \times \Z_p$. Di nuovo, per Schur-Zassenhaus $G \cong \Z_{p^2} \ltimes \Z_q$ oppure $G \cong (\Z_p \times \Z_p) \ltimes \Z_q$. Poiché $\mathrm{Aut}(\Z_q)\cong\Z_{q-1}$ dato che $q$ è primo, questi prodotti semidiretti sono classificati dagli omomorfismi $\Z_{p^2} \to \Z_{q-1}$ e $\Z_p \times \Z_p \to \Z_{q-1}$. Come prima abbiamo i gruppi abeliani $\Z_{p^2 q}$ e $\Z_p \times \Z_{pq}$ nel caso di omomorfismi banali. Ora dobbiamo chiederci se esistono omomorfismi non banali. Nel primo caso questi esistono solo se $p^2 | (q-1)$, nel qual caso avremo un prodotto semidiretto non banale $\Z_{p^2} \ltimes \Z_q$. Nell’altro caso invece dobbiamo studiare gli omomorfismi $\Z_p \times \Z_p \to \Z_{q-1}$, ma di nuovo questi esistono solo se $p | (q-1)$, in qual caso avremo un prodotto semidiretto $(\Z_p \times \Z_p) \ltimes \Z_{q-1}$.