Conosciamo bene l’elettrodinamica di Maxwell, con il potenziale vettore $A_\mu$ e il campo elettromagnetico $F_{\mu\nu}$. Abbiamo anche studiato le forme differenziali, e abbiamo visto che tanto $A$ quanto $F$ possono essere visti come forme differenziali.
In particolare $A$ è una $1$-forma, e $F$ una $2$-forma, e in particolare $F= dA$ dove $d$ è la derivata esterna. La simmetria di calibro è data dalla trasformazione $A \to A + d\lambda$ dove $\lambda$ è una $0$-forma, cioè uno scalare. Rispetto a questa trasformazione $F \to F$ è invariante, poiché $d^2=0$.
Questa costruzione può essere generalizzata a $p$-forme qualsiasi. In particolare, possiamo considerare tranquillamente una $p$-forma $A$ e poi il campo elettromagnetico $F = dA$ sarà una $(p+1)$-forma. La simmetria di calibro sarà ancora data da $A \to A + d\lambda$ dove stavolta $\lambda$ è una $(p-1)$-forma. Poiché $d^2=0$, allora di nuovo $F$ è invariante di calibro.
L’azione di questa teoria sarà analoga all’azione per il caso $p=1$:
$$S[A] = -\frac{1}{2g^2} \int F_{p+1} \wedge \star F_{p+1}$$
Il duale di Hodge $\star$ scambia le $q$-forme con le $(n-q)$-forme, dove $n$ è la dimensione dello spaziotempo. Perciò $F_{p+1} \wedge \star F_{p+1}$ è una $n$-forma, e l’integrale va inteso come integrale di volume. Per chiarire il significato dell’azione, esprimiamo il duale di Hodge in termini di una base. Come abbiamo già visto, in temini delle coordinate abbiamo
$$ F \wedge \star F = \frac{1}{(p+1)!} \, F_{\mu_1 \ldots \mu_{p+1}} F^{\mu_1 \ldots \mu_{p+1}}\, \sqrt{\det{g}}\, dx^1 \wedge \ldots \wedge dx^n$$
dove $g$ è la metrica dello spaziotempo. Perciò l’azione può anche essere scritta come
$$S[A] = -\frac{1}{2 (p+1)! g^2} \int dV\, F_{\mu_1 \ldots \mu_{p+1}} F^{\mu_1 \ldots \mu_{p+1}}$$
dove abbiamo incluso il determinante della metrica in $dV$. Per $p=1$ (teoria solita di Maxwell) otteniamo la solita azione $-\frac{1}{4g^2} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$.
Notiamo anche il caso particolare $p=0$: in questo caso la teoria cambia natura perché non esiste nessuna $(p-1)$-forma, e quindi non esiste nessuna simmetria di calibro. Per ritrovarci con termini familiari, la $0$-forma $A$ è ora un campo scalare $\phi$ e ora $d\phi$ è semplicemente la sua derivata. L’azione
$$S[\phi] = -\frac{1}{2 g^2} \int dV\, \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi$$
è semplicemente quella di un campo scalare a massa nulla.