In un precedente articolo abbiamo definito il prodotto interno tra due $p$-forme, e poi l’abbiamo utilizzato per definire il duale di Hodge. In particolare, avevamo
$$\alpha \wedge \star \beta = \langle \alpha, \beta \rangle \omega$$
dove $\omega$ è la forma di volume e $\langle \alpha, \beta \rangle$ il prodotto interno. Nell’articolo precedente abbiamo ricavato alcune formule per il duale di Hodge in coordinate. In particolare avevamo visto che per i differenziali,
$$\star (dx^{\mu_1} \wedge \ldots \wedge dx^{\mu_p})=\frac{\sqrt{\abs{\det{g}}}}{(n-p)!} g^{\mu_1 \nu_1} \cdots g^{\mu_p \nu_p} \epsilon_{\nu_1 \ldots \nu_p\nu_{p+1} \cdots \nu_n} dx^{\nu_{p+1}} \wedge \ldots \wedge dx^{\nu_n}$$
In questo articolo utilizzeremo questa formula per ricavare un’espressione per il prodotto interno $\langle \alpha, \beta \rangle$ in termini delle coordinate delle due $p$-forme. Abbiamo
\begin{align*}
\alpha \wedge \star \beta &=\frac{1}{(p!)^2} \alpha_{\mu_1 \ldots \mu_p} \beta_{\nu_1 \ldots \nu_p} dx^{\mu_1} \wedge \ldots \wedge dx^{\mu_p} \wedge \star (dx^{\nu_1} \wedge \ldots \wedge dx^{\nu_p})=\\
&=\alpha_{\mu_1 \ldots \mu_p} \beta^{\rho_1 \ldots \rho_p} \frac{\sqrt{\abs{\det{g}}}}{(n-p)! (p!)^2} \epsilon_{\rho_1 \ldots \rho_p\rho_{p+1} \cdots \rho_n} dx^{\mu_1} \wedge \ldots \wedge dx^{\mu_p} \wedge dx^{\rho_{p+1}} \wedge \ldots \wedge dx^{\rho_n}
\end{align*}
Nella prima riga i fattori di $1/p!$ vengono dalla normalizzazione delle forme, poi abbiamo usato la linearità del duale di Hodge. Nella seconda riga abbiamo usato la formula del paragrafo precedente e alzato gli indici del secondo $\alpha$ usando la metrica $g$. Poiché il prodotto dei $dx$ alla fine contiene $n$ elementi, sarà non-nullo solo se tutti gli indici sono diversi. Perciò avremo
$$dx^{\mu_1} \wedge \ldots \wedge dx^{\mu_p} \wedge dx^{\rho_{p+1}} \wedge \ldots \wedge dx^{\rho_n} = \epsilon^{\mu_1 \ldots \mu_p \rho_{p+1} \ldots \rho_n} dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge \ldots \wedge dx^{n}$$
Dobbiamo quindi considerare la contrazione tra i due tensori $\epsilon$,
$$\epsilon_{\rho_1 \ldots \rho_p\rho_{p+1} \cdots \rho_n} \epsilon^{\mu_1 \ldots \mu_p \rho_{p+1} \ldots \rho_n}$$
In particolare, questo termine sarà nullo a meno che $\{\mu_1, \ldots, \mu_p\} = \{\rho_1, \ldots, \rho_p\}$ come insiemi (cioè non necessariamente con lo stesso ordine). La contrazione tra i due simboli di Levi-Civita in particolare si semplifica,
$$\epsilon_{\rho_1 \ldots \rho_p\rho_{p+1} \cdots \rho_n} \epsilon^{\mu_1 \ldots \mu_p \rho_{p+1} \ldots \rho_n} = (n-p)! \delta_{\rho_1 \ldots \rho_p}^{\mu_1 \ldots \mu_p}$$
dove $\delta$ è la delta di Kronecker generalizzata. In particolare è uguale a $\pm 1$ se $\rho_1 \ldots \rho_p$ è una permutazione pari/dispari di $\mu_1 \ldots \mu_p$ ed è zero altrimenti. In termini della forma di volume, $\omega = \sqrt{\abs{\det{g}}} dx^{1} \wedge dx^{2} \wedge \ldots \wedge dx^{n}$ otteniamo quindi
$$\alpha \wedge \star \beta =\frac{1}{(p!)^2} \alpha_{\mu_1 \ldots \mu_p} \beta^{\rho_1 \ldots \rho_p} \delta_{\rho_1 \ldots \rho_p}^{\mu_1 \ldots \mu_p}\, \omega $$
Ora immaginiamo di considerare un termine della somma sui $\mu$, cioè fissiamo i $\mu$. Sommando su tutti i $\rho$ gli unici termini non-nulli corrispondono al caso in cui i $\rho$ sono una permutazione dei $\mu$. Inoltre questi contribuiscono tutti con lo stesso segno perché nel caso in cui la permutazione è pari, $\beta^{\rho_1 \ldots \rho_p} = \beta^{\mu_1 \ldots \mu_p}$ e la delta è uguale a $+1$; se invece la permutazione è dispari, entrambi i termini contribuiscono un $-1$ per un totale di un $+1$. Poiché abbiamo $p!$ permutazioni, alla fine otteniamo
$$\alpha \wedge \star \beta =\frac{1}{p!} \, \alpha_{\mu_1 \ldots \mu_p} \beta^{\mu_1 \ldots \mu_p}$$
e quindi per il prodotto interno
$$\langle \alpha, \beta \rangle = \frac{1}{p!} \, \alpha_{\mu_1 \ldots \mu_p} \beta^{\mu_1 \ldots \mu_p}$$
Possiamo verificare che questa formula coincide con quella degli articoli precedenti.