Una delle caratteristiche più importanti delle teorie quantistiche dei campi è che le costanti di accoppiamento non sono costanti ma dipendono dalla scala energetica. In cromodinamica quantistica la costante di accoppiamento $g_s$ che compare nell’azione, ad esempio, dipende dalla scala di energia $\mu$ in modo determinato dalla cosiddetta funzione $\beta$,
$$\mu^2 \dv{}{\mu^2} a_s(\mu) = \beta(a_s) = -\sum_{i = 0}^\infty \beta_i a_s^{i+2}$$
dove $a_s = g_s^2/(4\pi^2)$. La funzione $\beta$ non è nota esattamente ma ammette un espansione in termini dei coefficienti $\beta_i$, i primi dei quali sono dati da
\begin{align*}
\beta_0 &= \frac14 \pqty{11-\frac23 N_f}\\
\beta_1 &= \frac{1}{4^2} \pqty{102-\frac{38}{3} N_f}\\
\beta_2 &= \frac{1}{4^3} \pqty{\frac{2857}{2}-\frac{5033}{18} N_f + \frac{325}{54} N_f^2}
\end{align*}
In queste formule $N_f$ è il numero di sapori, che nel mondo reale è uguale a $N_f=3$. Perciò notiamo che almeno i primi tre coefficienti $\beta_i$ sono positivi nel mondo reale. In base all’equazione $\beta$ possiamo cercare una soluzione per $\alpha$ in termini di $\mu$. In prima approssimazione, abbiamo
$$\mu^2 \dv{}{\mu^2} a_s = -\beta_0 a_s^2 \quad \quad \quad \implies \quad \quad \quad \frac{\mu^2}{\mu_0^2} = \exp{\bqty{\frac{1}{\beta_0}\pqty{\frac{1}{a_s(\mu^2)}-\frac{1}{a_s(\mu_0^2)}}}}$$
dove $\mu_0$ è una scala di energia arbitraria. Notiamo innanzitutto che questa scala energetica è necessaria per motivi dimensionali, e che è stata generata automaticamente dall’equazione tramite una condizione al contorno. Moralmente l’equazione può essere scritta come $\mu^2 \sim \exp{1/g^2}$. Ovvero per andare nel limite di alte energie $\mu^2 \to \infty$ dobbiamo mandare la costante di accoppiamento a zero, $g_s \to 0$. Questo risultato è sorprendente: infatti $a_s$ è la costante di espansione delle serie perturbative, che sono valide se $a_s \ll 1$; ciò avviene, secondo l’equazione che abbiamo appena calcolato, ad alte energie. Perciò ad esempio possiamo utilizzare la cromodinamica perturbativa per fenomeni ad alte energie come lo sparpagliamento di protoni al CERN, ma non per fenomeni ad energie medie o basse. Ciò è il contrario di quanto avviene nella maggior parte delle altre teorie, come ad esempio l’elettrodinamica quantistica.
Possiamo provare a ripetere il calcolo anche aggiungendo un ulteriore termine,
$$\mu^2 \dv{}{\mu^2} a_s = -\beta_0 a_s -\beta_1 a_s^3 \quad \implies \quad \mu^2 = C \pqty{\frac{a_s}{\beta_0 + \beta_1 a_s}}^{\beta_1/\beta_0^2} \exp{\bqty{\frac{1}{\beta_0 a_s(\mu^2)}}}$$
dove stavolta abbiamo lasciato la costante implicita per evitare di complicare il risultato. Vediamo quindi che aggiungendo ulteriori termini abbiamo semplicemente introdotto dei polinomi davanti alla funzione beta. In particolare, il comportamento asintotico è determinato di nuovo dal termine esponenziale che dipende soltanto da $\beta_0$, il primo termine della serie.
Volendo potremmo continuare e risolvere l’equazione con ulteriori termini, ma non è un esercizio molto interessante.