Dimostriamo la seguente proposizione che torna talvolta utile in teoria dei gruppi.
Proposizione. Se $x, y \in G$ commutano con $[x,y]$, allora $[x^m, y^n]=[x,y]^{mn}$ per ogni $m, n \in \Z$ e $x^n y^n = (xy)^n [x,y]^{{n \choose 2}}$.
Dimostrazione. Prima di tutto poniamo $m=1$ e dimostriamo che $[x, y^n]=[x,y]^{n}$ per ogni $n>0$. Procediamo per induzione. Ciò è vero per $n=1$. Supponiamo sia vero per $n$ e dimostriamo che è vero per $n+1$. Abbiamo
\begin{align*}
[x, y^{n+1}] &= x y^{n+1} x^{-1} y^{-n-1} =\\
&= x y^{n} y x^{-1} y^{-n-1}=\\
&= [x, y^{n}] y^n x y x^{-1} y^{-1} y^{-n} =\\
&= [x, y^{n}] y^n [x, y]y^{-n} =\\
&= [x, y^{n}] [x, y] = [x, y]^{n+1}
\end{align*}
Nell’andare dalla penultima all’ultima riga abbiamo usato il fatto che $y$ commuta con $[x,y]$ e poi l’ipotesi induttiva. Ciò dimostra $[x, y^n]=[x,y]^{n}$ per $n \geq 0$. Ora notiamo che
\begin{align*}
[x, y^{-1}] [x, y] &= x y^{-1} x^{-1} y [x,y] =\\
&= x y^{-1} x^{-1} [x,y] y = \\
&= x y^{-1} x^{-1} xy x^{-1} y^{-1} y = 1
\end{align*}
Perciò $[x, y^{-1}] = [x, y]^{-1}$. Inoltre
$$ [x, y^{-1}] = [x, y]^{-1} = (xyx^{-1}y^{-1})^{-1} = y x y^{-1} x^{-1} = y x y^{-1} x^{-1} y y^{-1} = y [x,y^{-1}]y^{-1}$$
e quindi $y^{-1}[x, y^{-1}] = [x,y^{-1}]y^{-1}$. Quindi $y^{-1}$ commuta con $ [x,y^{-1}]$ e possiamo quindi applicare il risultato precedente a $y^{-1}$, per cui $[x, (y^{-1})^n]=[x,y^{-1}]^{n}$, ovvero $[x, y^{-n}]=[x,y]^{-n}$. Segue che $[x, y^n]=[x,y]^{n}$ per ogni $n \in \Z$. Possiamo poi procedere di nuovo per induzione su $m$ in maniera molto simile. Con ciò abbiamo dimostrato la prima formula per $m, n \geq 0$. Non è poi difficile dimostrare la seconda formula sempre per induzione. $\square$