Consideriamo un reticolo ipercubico periodico in $D$ dimensioni, con una lunghezza (numero di siti) $N_i$ nella direzione $i$. Molto spesso torna utile calcolare il numero di vari elementi (archi, placchette) del reticolo. Questa operazione è molto semplice una volta trovato il modo giusto di affrontare la cosa, e altrimenti può essere molto difficile.
La cosa più semplice è il numero di siti, data semplicemente da $N_1 N_2 \cdots N_D$, cioè il prodotto delle lunghezze nelle $D$ direzioni.
Come esempio non banale, consideriamo invece gli archi. Un arco collega due siti primi vicini, ed è perciò definito da un sito $\vec{x}$ e da una direzione $\mu$. Per definizione l’arco collegherà quindi il sito $\vec{x}$ col sito $\vec{x} + \mu$. Poiché abbiamo condizioni al contorno periodiche, allora tutti gli archi così definiti sono validi. Perciò il numero degli archi sarà $D N_1 N_2 \cdots N_D$, ovvero ne abbiamo $D$ per sito.
Per le placchette la situazione sarà simile. Infatti una placchetta è definita da un sito e poi dalla scelta di due direzioni in cui emana. In $D$ dimensioni possiamo scegliere ${D \choose 2} = D(D-1)/2$ direzioni, ovvero $0$ in una dimensione, $1$ in due dimensioni, $3$ in tre dimensioni, $6$ in quattro dimensioni e via dicendo. Perciò abbiamo un totale di $\frac12 D (D-1) N_1 N_2 \cdots N_D$ placchette.
In generale, una struttura base $d$-dimensionale sarà definita per ogni sito dalla scelta di $d$ dimensioni tra le $D$ disponibili, e perciò ne avremo ${D \choose d}$ per sito. Ad esempio il numero di cubi unitari corrisponde a $d=3$.
Possiamo controllare che il conteggio è corretto in alcuni casi semplici. In una dimensione con $N$ siti, abbiamo effettivamente $N$ archi e zero placchette. In due dimensioni, l’immagine mostra ad esempio un reticolo $2 \times 2$ con condizioni al contorno periodiche quindi con $4$ siti, $8$ archi e $4$ placchette.