Per fare il kombucha, ad esempio seguendo questo video, dobbiamo preparare il tè e poi raffreddarlo fino a temperatura ambiente. Per sbrigarsi, il tizio del video decide di far bollire solo metà dell’acqua, farci il tè, e poi rimettere l’altra metà (rimasta a temperatura ambiente) per raffreddarla. Tuttavia non è chiaro se questa sia la procedura ottimale. Infatti magari conviene far raffreddare il tè bollente per un certo periodo, e solo dopo mescolarlo con l’acqua a temperatura ambiente.
Per capire qual è il metodo ottimale utilizziamo la legge del raffreddamento di Newton, secondo cui se lasciamo raffreddare un corpo a temperatura iniziale $T_0$ in un ambiente di temperatura $T_{\mathrm{amb}}$, allora la temperatura del corpo diminuirà secondo la legge
$$T(t) = T_{\mathrm{amb}} + (T_0 -T_{\mathrm{amb}}) e^{-r t}$$
dove $t$ è il tempo, $T(t)$ è la temperatura del corpo e $r = \frac{hA}{mc}$ dove $A$ è la superficie del corpo, $m$ la sua massa, $c$ il calore specifico e $h$ il coefficiente di scambio termico.
Ora confrontiamo i due scenari seguenti:
- Appena il tè è pronto lo mescoliamo con l’acqua a temperatura ambiente e poi lo lasciamo raffreddare per un tempo $t$.
- Lasciamo raffreddare il tè pronto da solo per un tempo $t$ e poi lo mescoliamo con l’acqua a temperatura ambiente.
Chiamiamo $T_b$ la temperatura del tè pronto, cioè $T_b=100^\circ C$. Allora nello scenario $1$ la temperatura iniziale del tè sarà $T_0 = (T_b+ T_{\mathrm{amb}})/2$ e quindi dopo un tempo $t$, la temperatura sarà
$$T_1 = T_{\mathrm{amb}} + \frac12 (T_b- T_{\mathrm{amb}}) e^{-r_1 t}$$
Al contrario, nello scenario $2$ solo alla fine prendiamo la media con $T_{\mathrm{amb}}$ e quindi,
$$T_2 = \frac{T_{\mathrm{amb}} +\frac12 (T_b -T_{\mathrm{amb}}) e^{-r_2 t} + T_{\mathrm{amb}}}{2} =T_{\mathrm{amb}} + \frac12 (T_b- T_{\mathrm{amb}}) e^{-r_2 t} $$
Le due formule sono perciò identiche tranne per i diversi fattori $r$ nell’esponenziale. Ricordiamo che $r = \frac{hA}{mc}$. Mentre possiamo considerare $h$ e $c$ costanti (tè e acqua non hanno proprietà fisiche particolarmente diverse), la superficie $A$ e la massa $m$ sono diverse nei due casi. In particolare nel primo caso la massa è doppia che nel secondo, perché facciamo raffreddare una quantità doppia di acqua, quindi $m_1=2m_2$.
Il rapporto tra le superfici invece dipenderà dal contenitore in cui depositiamo il materiale. Se lo mettiamo in un bicchiere perfettamente isolante aperto solo sopra, allora l’unica superficie di trasmissione del calore è l’apertura sopra che rimane identica nei due casi e quindi $A_1 = A_2$. Tuttavia raramente ciò avviene, ed anche i lati del bicchiere dissipano energia, anche se magari non il fondo. In tutta onestà tuttavia la dispersione del calore attraverso le pareti del bicchiere e direttamente nell’aria potrebbe avere coefficienti $h$ diversi. Tuttavia per un calcolo ad occhio, l’area di un cilindro (escludendo il fondo) è data da $\pi R^2 + 2\pi R h$ dove $R$ è il raggio e $h$ l’altezza del cilindro. Poiché l’altezza del cilindro raddoppia inserendo il doppio dell’acqua, perciò
$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{1+4 (h/R)}{1+2 (h/R)}$$
Supponiamo di voler misurare il tempo necessario per far arrivare la temperatura a $T_{\mathrm{amb}}+\Delta T$ (per arrivare proprio a $T_{\mathrm{amb}}$ ci vorrebbe un tempo infinito). Il tempo necessario sarà, in entrambi i casi,
$$t =\frac{1}{r}\log{\bqty{\frac{T_b- T_{\mathrm{amb}}}{2\Delta T}}}$$
Perciò il rapporto tra i due tempi sarà
$$\frac{t_1}{t_2} =\frac{r_2}{r_1} = \frac{A_2}{A_1} \frac{m_1}{m_2} \approx 2 \frac{1+2 (h/R)}{1+4 (h/R)}$$
Un contenitore tipico potrà avere ad esempio il diametro circa pari all’altezza del materiale, perciò mettiamo circa $h \approx R$ e quindi $\frac{t_1}{t_2} \approx \frac{6}{5} = 1.2$. Perciò il primo metodo è circa il $20\%$ più lento del secondo metodo. Chiaramente questo $20\%$ è un numero molto approssimativo, ma la storia qualitativa rimane la stessa: conviene far raffreddare prima il tè da solo, e solo alla fine aggiungere l’acqua.