In questo articolo vediamo come è possibile discretizzare l’azione dei fermioni di Dirac e vediamo che andiamo incontro ad un problema noto come “raddoppiamento dei fermioni” (fermion doubling).
Come abbiamo già visto, l’azione Euclidea dei fermioni di Dirac liberi è data da
$$S = \int d^d x\, \bar{\psi} \pqty{\gamma_{\mu} \partial_{\mu} + m } \psi $$
Per discretizzare la teoria e metterla su reticolo, basta discretizzare la derivata ponendo
$$\partial_\mu \psi (x) = \frac{\psi(x + a\hat{\mu}) -\psi(x-a\hat{\mu})}{2a}$$
dove $a$ è il passo del reticolo, e quindi l’azione diventa
$$S = a^{d-1} \sum_x \bar{\psi}(x) \pqty{\tfrac12 \gamma_{\mu} (\psi(x + a\hat{\mu}) -\psi(x-a\hat{\mu}))+ a m \psi(x)} $$
dove la somma è su tutti i punti $x$ del reticolo, mentre la somma su $\mu$ è implicita. Per studiare meglio quest’azione andiamo nello spazio dei momenti ponendo
$$\psi(x) = \int \frac{d^d p}{(2\pi)^d} e^{ipx} \psi(p)$$
dove l’integrale è sulla zona di Brillouin $[-\tfrac{\pi}{a},\tfrac{\pi}{a}]^d$. Sostituendo otteniamo dopo un semplice calcolo,
$$S = a^{d} \int \frac{d^d p}{(2\pi)^d} \bar{\psi}(p) \pqty{ \sum_\mu i \gamma_{\mu} \frac{\sin{(a p_\mu)}}{a}+ m}\psi(p) $$
dove abbiamo anche esplicitato la somma su $\mu$. Prendendo il limite $a \to 0$ vediamo che l’azione si riduce all’azione del continuo nello spazio dei momenti, e ciò è sicuramente cosa buona. Tuttavia possiamo calcolare questo limite in maniere diverse. Infatti ponendo ad esempio $p_\mu = \frac{\pi}{a} -\widetilde{p}_\mu$ per uno specifico $\mu$ otteniamo di nuovo un propagatore di un fermione libero nel limite del continuo $a \to 0$. Poiché per ognuna delle $d$ coordinate $p_\mu$ possiamo scegliere di espandere vicino a $0$ o vicino a $\pm \tfrac{\pi}{a}$, abbiamo in totale $2^d$ possibilità e quindi $2^d$ specie fermioniche diverse. In altre parole l’azione $S$ non descrive un singolo fermione di Dirac, bensì $2^d$ fermioni. Nel limite del continuo fatto con attenzione, infatti, $S$ si riduce all’azione di $2^d$ fermioni liberi. Possiamo mostrarlo chiaramente in una dimensione. Abbiamo infatti
$$S = a \int_{-\pi/a}^{\pi/a} \frac{dp}{2\pi} \bar{\psi}(p) D(p)^{-1} \psi(p) $$
Notiamo che il seno è ben approssimato da una funzione lineare nell’intervallo $[-\tfrac{\pi}{2a}, \tfrac{\pi}{2a}]$, ma non nel resto dell’intervallo. Perciò separiamo l’integrazione:
$$S = a \int_{\pi/2a}^{\pi/a} \frac{dp}{2\pi} \bar{\psi}(p) D(p)^{-1} \psi(p) + a \int_{-\pi/2a}^{\pi/2a} \frac{dp}{2\pi} \bar{\psi}(p) D(p)^{-1} \psi(p) + a \int_{-\pi/a}^{-\pi/2a} \frac{dp}{2\pi} \bar{\psi}(p) D(p)^{-1} \psi(p) $$
Ora cambiamo variabili nel primo caso ponendo $p \to \pi/a -p$, mentre nell’ultimo poniamo $p \to -\pi/a -p$. Entrambe lasciano $D(p)^{-1}$ invariato. Perciò sostituendo e mettendo insieme i due integrali,
$$S = a \int_{-\pi/2a}^{\pi/2a} \frac{dp}{2\pi} \bar{\psi}'(p) D(p)^{-1} \psi'(p) + a \int_{-\pi/2a}^{\pi/2a} \frac{dp}{2\pi} \bar{\psi}(p) D(p)^{-1} \psi(p)$$
dove abbiamo ridefinito $\psi'(p) = \psi(\pm \pi/a -p)$. Ora in entrambi gli intervalli il seno è ben approssimato da una funzione lineare, e quindi ognuno dei due integrali nel limite del continuo diventerà un integrale per un fermione di Dirac libero. Perciò nel continuo abbiamo ottenuto due fermioni.
Questo fenomeno è noto come raddoppiamento dei fermioni. Va notato che non è un dettaglio tecnico ignorabile, ma effettivamente rovina i calcoli a meno che non venga risolto; in particolare, ha a che fare con l’anomalia chirale, di cui abbiamo parlato in altri articoli. Una singola specie fermionica nel continuo è anomala, ma poiché l’anomalia viene dalla misura d’integrazione, su reticolo l’anomalia chirale non può esistere. Perciò mettendo su reticolo una teoria di un fermione libero, quindi una teoria senza anomalia, questa corrisponderà nel continuo ad una teoria senza anomalia, e i doppioni servono esattamente a cancellare l’anomalia.
Questo ragionamento ci dice anche che il problema non dipende dalla discretizzazione che abbiamo scelto, ma è generico, ed può essere reso rigoroso nel cosiddetto teorema di Nielsen-Ninomiya. Se vogliamo rimuovere i doppioni, l’idea più semplice è quella di rompere la simmetria chirale esplicitamente. Così non c’è nessuna anomalia e il problema non si verifica. Questa è l’idea dietro i cosiddetti fermioni di Wilson, in cui aggiungiamo all’azione il Laplaciano dei fermioni
$$-r a \sum_x \sum_\mu \bar{\psi}(x) \frac{\psi(x + a\hat{\mu}) + \psi(x-a\hat{\mu})-2\psi(x)}{2a^2}$$
dove $r$ è un parametro a caso e di solito poniamo $r \equiv 1$. Questo termine rompe esplicitamente la simmetria chirale dei fermioni (potete controllare) ma poiché è soppresso di un fattore $a$ davanti, nel limite $a \to 0$ diventa (almeno in teoria) irrilevante. Andando nello spazio dei momenti, vediamo che con il nuovo termine l’azione è
$$S = a^{d} \int \frac{d^d p}{(2\pi)^d} \bar{\psi}(p) \pqty{ \sum_\mu i \gamma_{\mu} \frac{\sin{(a p_\mu)}}{a} + 2r \frac{\sin^2{(a p_\mu/2)}}{a}+ m}\psi(p) $$
Con questo nuovo termine, per i momenti $p_\mu$ vicini a zero cambia poco, perché il termine aggiuntivo è proporzionale ad $a$ per $p_\mu$ piccolo. Al contrario, per i doppioni $p_\mu \approx \pi/a$ e quindi $\frac{\sin^2{(a p_\mu/2)}}{a} \approx 1/a$. Questo è in pratica un termine di massa per i doppioni, che quindi nel limite del continuo $a \to 0$ avranno massa infinita e quindi saranno fortemente soppressi. Questa soluzione è di facile implementazione ma ha dei problemi, perché senza simmetria chirale la massa dei fermioni non è protetta da rinormalizzazione; può anche accadere che questa massa rinormalizzata diventi negativa. Per risolvere questi problemi in pratica si usa una versione modificata dei fermioni di Wilson detti “twisted mass” in cui il termine di massa viene modificato.
Concludiamo notando che questo problema non esiste per altre forme di materia come gli scalari. In quel caso infatti, l’azione avrà la forma
$$S = a^{d} \int \frac{d^d p}{(2\pi)^d} \phi^*(p) \pqty{ \sum_\mu \frac{\sin^2{(a p_\mu/2)}}{(a/2)^2}+ m^2}\phi(p) $$
Mentre $p_\mu$ varia nella zona di Brillouin l’argomento del seno varia tra $-\pi/2$, e $\pi/2$, una regione nella cui interezza il seno è ben approssimato da una funzione lineare.