In un precedente articolo, abbiamo risolto il modello di Ising in una dimensione tramite la matrice di trasferimento. In questo articolo vediamo come utilizzare la stessa tecnica per calcolare la magnetizzazione del sistema.
Supponiamo di voler misurare la magnetizzazione, ad esempio, che misuriamo come la magnetizzazione di uno degli spin, diciamo il primo. Allora nel modello di Ising classico (ponendo $\beta=1$) abbiamo
$$m = \expval{s_1} = \frac{1}{Z} \sum_{\{s_i\}} s_1 e^{-H(\{s_i\})}$$
Nell’articolo precedente avevamo trovato che
$$ Z = \sum_{\{s_i\}} e^{-H(\{s_i\})} = \sum_{s_1}\sum_{s_2}\cdots \sum_{s_N} V(s_1, s_2) V(s_2, s_3) \cdots V(s_{N-1}, s_N)V(s_N, s_1)$$
dove come al solito $s_i = \pm 1$ e
$$V(s_i, s_{i+1}) = \exp{\bqty{ J s_i s_{i+1} + B \frac{s_i+s_{i+1}}{2}}} \quad \quad V = \begin{pmatrix}e^{(J+B)} & e^{- J}\\ e^{-J}& e^{(J-B)}\end{pmatrix}$$
Vogliamo scrivere il valore atteso sopra in una maniera simile. Con l’introduzione di $s_1$ nella sommatoria cambia la definizione di uno dei $V$. Scegliendo di introdurlo in $V(s_1, s_2)$ troviamo in quel caso dobbiamo rimpiazzarlo con
$$\widetilde{V}(s_1, s_2) = s_1 \exp{\bqty{J s_1 s_2 + B \frac{s_1+s_2}{2}}} \quad \implies\\
\widetilde{V} =\begin{pmatrix}\widetilde{V}(1,1) & \widetilde{V}(1,-1)\\ \widetilde{V}(-1,1) & \widetilde{V}(-1,-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e^{(J+B)} & e^{-J}\\ -e^{-J}& -e^{(J-B)}\end{pmatrix} = \sigma_z V$$
Il risultato finale è che quindi appare un fattore extra di $\sigma_z$, il che non è poi così sorprendente. Perciò otteniamo per il valore atteso,
$$m = \expval{s_1} = \frac{1}{Z} \sum_{\{s_i\}} s_1 e^{-H(\{s_i\})} = \frac{\tr{\pqty{\sigma_z V^N}}}{\tr{\pqty{V^N}}}$$
Notiamo che in realtà abbiamo $\expval{s_1}=\expval{s_i}$ perché se avessimo scelto lo spin $i$-esimo, allora il fattore $\sigma_z$ sarebbe comparso prima di $V(s_i, s_{i+1})$, ma che nella traccia il risultato è identico per la proprietà ciclica. Perciò inoltre in particolare il valore atteso $\expval{s_1}$ è identico al valore atteso $\frac{1}{N} \sum_i \expval{s_i}$.
Ora completiamo il calcolo della magnetizzazione. A tale scopo notiamo che $V$ è una matrice $2 \times 2$ reale simmetrica, e quindi i suoi autovettori $v_\pm$ formano una base completa. Perciò possiamo espandere la traccia usando la notazione della meccanica quantistica,
$$\tr{\pqty{\sigma_z V^N}}=\bra{v_+}\sigma_z V^N \ket{v_+} + \bra{v_-}\sigma_z V^N \ket{v_-} $$
Questa notazione non è per niente a caso, ma anzi come abbiamo visto negli articoli sulla corrispondenza classica-quantistica, il modello di Ising classico in 1D corrisponde al modello di Ising quantistico in 0D, e l’operatore quantistico che dà la magnetizzazione è proprio $\sigma_z$. Ora agendo con $V$ su uno degli autovettori otteniamo l’autovalore corrispondente, e quindi
$$\tr{\pqty{\sigma_z V^N}}= \lambda_+^N \bra{v_+}\sigma_z \ket{v_+} + \lambda_-^N \bra{v_-}\sigma_z \ket{v_-} $$
Si tratta quindi di calcolare gli elementi di matrice di $\sigma_z$. Gli autovettori di $V$ vanno calcolati, e sono
$$v_\pm = \begin{pmatrix} e^{2J}\sinh{B} \pm \sqrt{e^{4J}\sinh^2{B} + 1} \\ 1\end{pmatrix}$$
$$\abs{v_\pm}^2 =2e^{4J}\sinh^2{B} + 2 \pm 2e^{2J}\sinh{B} \sqrt{e^{4J}\sinh^2{B} + 1}$$
Potremmo sostituire nella formula sopra ma il risultato sarebbe orrendo e poco utile. D’altronde ci interessa più che altro ciò che avviene nel limite termodinamico, cioè
$$m = \lim_{N\to \infty} \frac{\tr{\pqty{\sigma_z V^N}}}{\tr{\pqty{V^N}}} = \frac{\lambda_+^N \bra{v_+}\sigma_z \ket{v_+} + \lambda_-^N \bra{v_-}\sigma_z \ket{v_-}}{\lambda_+^N + \lambda_-^N} = \bra{v_+}\sigma_z \ket{v_+}$$
e quindi semplificando troviamo che,
$$m =\frac{e^{2J}\sinh{B} }{\sqrt{e^{4J}\sinh^2{B} + 1}}$$
e quindi la magnetizzazione ha lo stesso segno di $B$, e in particolare nei limiti $B\to \pm \infty$ si satura a $m \to \pm 1$. In particolare per $B=0$ la magnetizzazione è sempre nulla, $m=0$, cioè il modello di Ising nel limite termodinamico senza campo magnetico non ha nessuna transizione fase e nessuna magnetizzazione spontanea.