In teoria quantistica dei campi termica capita di calcolare varie quantità per dei processi di sparpagliamento a temperatura finita. Questi integrali presentano delle particolarità che li rendono sufficientemente diversi da quelli soliti a temperatura nulla, e una buona parte dell’integrazione può essere effettuata in maniera del tutto generale. Consideriamo il caso di uno sparpagliamento $1 \to 2$, in cui l’integrale tipico prenderà la forma
$$I = \int \frac{d^3 \vec{p}_1}{(2\pi)^3 2 E_1}\frac{d^3 \vec{p}_2}{(2\pi)^3 2 E_2} \frac{d^3 \vec{p}_3}{(2\pi)^3 2 E_3} \delta(E_1-E_2-E_3) \delta(\vec{p}_1-\vec{p}_2-\vec{p}_3) f\pqty{E_1, E_2, E_3, \vec{p}_1, \vec{p}_2, \vec{p}_3}$$
Una particolarità di questi integrali è che tutti i propagatori sono amputati, ovvero le energie sono tutte sul guscio energetico $E_i = \sqrt{\vec{p}_i^2+m_i^2}$. Le masse delle tre particelle coinvolte sono in linea di principio diverse. La funzione $f$ è di solito il prodotto di distribuzioni termiche (Fermi-Dirac o Bose-Einstein), che dipendono solo dalle energie, e di un termine direzionale che dipende solo dai momenti. Ora cerchiamo di ridurre per quanto possibile l’integrale sopra ad una forma semplice. Prima di tutto risolviamo la delta dei momenti:
$$I = \int \frac{d^3 \vec{p}_2}{(2\pi)^3 2 E_2} \frac{d^3 \vec{p}_3}{(2\pi)^3 2 E_3} \frac{1}{(2\pi)^3 2 E_1} \delta(E_1-E_2-E_3) f\pqty{E_1, E_2, E_3, \vec{p}_2+\vec{p}_3, \vec{p}_2, \vec{p}_3}$$
dove ora $E_1 = \sqrt{\pqty{\vec{p}_2+\vec{p}_3}^2+m_1^2}$. Ora si tratta di risolvere l’unica funzione delta rimanente. A tale scopo immaginiamo di integrare rispetto a $\vec{p}_3$ tenendo $\vec{p}_2$ fisso, e solo poi di integrare rispetto a $\vec{p}_2$. Allora, assumendo che ciò sia compatibile con $f$, possiamo scegliere per $\vec{p}_3$ un sistema di coordinate cilindrico fissato in modo che la direzione di $\vec{p}_2$ sia l’asse $z$. In altre parole separiamo $\vec{p}_3$ nelle sue componenti parallela e trasversale a $\vec{p_2}$. Perciò abbiamo
$$I = \int \frac{d^3 \vec{p}_2}{(2\pi)^3 2 E_2} \frac{p_{\perp} d p_{\parallel} d p_{\perp} d\phi}{(2\pi)^3 2 E_3} \frac{1}{(2\pi)^3 2 E_1} \delta(E_1-E_2-E_3) f\pqty{E_1, E_2, E_3, \vec{p}_2+\vec{p}_3, \vec{p}_2, \vec{p}_3}$$
Ciò porta ad una semplificazione perché ora
$$\pqty{\vec{p}_2+\vec{p}_3}^2 = p_2^2 + 2 p_2 p_\parallel + p_\parallel^2 + p_\perp^2$$
dove $p_2 = \abs{\vec{p}_2}$. Per risolvere la funzione delta ricordiamo la formula $\delta(g(x))=\sum_{i \in \mathrm{radici}} \frac{\delta(x-x_i)}{\abs{g'(x_i)}}$ dove la somma è sulle radici di $g(x)$, ovvero $g(x_i)=0$. Dobbiamo quindi risolvere esplicitamente $E_1=E_2+E_3$ rispetto ad una delle variabili; decideremo durante il calcolo qual è la più conveniente. Abbiamo
\begin{align*}
E_1 &= E_2+E_3\\
\sqrt{p_2^2 + 2 p_2 p_\parallel + p_\parallel^2 + p_\perp^2+m_1^2} &= \sqrt{p_2^2+m_2^2}+\sqrt{ p_\parallel^2+p_\perp^2+m_3^2}\\
\not{p_2^2} + 2 p_2 p_\parallel + \not{p_\parallel^2} +\not{p_\perp^2}+m_1^2 &= \not{p_2^2}+m_2^2+\not{p_\parallel^2}+\not{p_\perp^2}+m_3^2+\sqrt{\pqty{p_2^2+m_2^2}\pqty{ p_\parallel^2+p_\perp^2+m_3^2}}\\
2 p_2 p_\parallel +\Delta &=\sqrt{\pqty{p_2^2+m_2^2}\pqty{ p_\parallel^2+p_\perp^2+m_3^2}}
\end{align*}
dove $\Delta = m_1^2-m_2^2-m_3^3 > 0$ dato che $m_1 > m_2+m_3$ perché il decadimento possa accadere. Ora sia $p_2$ che $p_\parallel$ appaiono sia con un termine quadratico che con un termine lineare, mentre invece $p_\perp$ appare solo con un termine quadratico ed è quindi più semplice risolvere per $p_\perp$. Abbiamo perciò
$$p_\perp^2 = \frac{\pqty{2 p_2 p_\parallel +\Delta}^2}{p_2^2+m_2^2}-p_\parallel^2-m_3^2$$
Questa equazione ha una sola soluzione perché per costruzione $p_\perp$ è positiva. Allora se $g(p_\perp)=E_1-E_2-E_3$ abbiamo
$$g'(p_\perp)=p_\perp \pqty{\frac{1}{E_1}-\frac{1}{E_3}}=-p_\perp \frac{E_2}{E_1 E_3}$$
dove abbiamo usato $E_1-E_2-E_3=0$. Perciò sostituendo due fattori di $p_\perp$ si cancellano e quindi
$$I =\frac{1}{8 (2\pi)^8} \int d^3 \vec{p}_2 d p_{\parallel} d p_{\perp} \delta(p_\perp-p_\perp^*) \frac{1}{E_2^2} f\pqty{E_1, E_2, E_3, \vec{p}_2+\vec{p}_3, \vec{p}_2, \vec{p}_3}$$
dove abbiamo supposto che $f$ non dipenda dall’angolo $\phi$, che può perciò essere integrato via. In questo caso $\vec{p_3}$ in $f$ va inteso in termini di $p_\parallel$ e $p_\perp$. Nell’applicare questo risultato abbiamo trascurato un dettaglio di cui dobbiamo occuparci ora. Torniamo all’equazione che definisce la soluzione di $E_1=E_2+E_3$, ovvero
$$2 p_2 p_\parallel +\Delta =\sqrt{\pqty{p_2^2+m_2^2}\pqty{ p_\parallel^2+p_\perp^2+m_3^2}}$$
Per definizione $p_2$ e $p_\perp$ sono positivi, mentre $p_\parallel$ (che sarebbe la variabile $z$ delle coordinate cilindriche) può assumere in linea di principio qualsiasi valore. Tuttavia perché quest’ultima equazione abbia soluzione il membro sinistro dev’essere positivo e ciò impone una condizione su $p_\parallel$. Se questa condizione non si verifica, allora l’equazione non ha soluzione e quindi la delta è nulla per quei valori di $p_\parallel$. In particolare poiché $0 < p_\perp < \infty$ abbiamo
$$ \sqrt{\pqty{p_2^2+m_2^2}\pqty{ p_\parallel^2+m_3^2}}<2 p_2 p_\parallel +\Delta <\infty$$
La seconda disuguaglianza è banale, mentre la prima ha soluzione solo se $2 p_2 p_\parallel +\Delta > 0$. In tal caso possiamo prendere il quadrato di entrambi i lati ottenendo
$$\pqty{3 p_2^2-m_2^2} p_\parallel^2+ 4 p_2 p_\parallel \Delta+\Delta^2 -m_3^2 \pqty{p_2^2 +m_2^2}>0$$
Le due soluzioni dell’equazione associata sono date da:
$$p_\parallel^{(\pm)} = \frac{-2 p_2 \Delta \pm \sqrt{4 p_2^2 \Delta^2 -\pqty{3 p_2^2-m_2^2}\pqty{\Delta^2 -m_3^2 \pqty{p_2^2 +m_2^2}}}}{3 p_2^2-m_2^2}$$
Il comportamento della disequazione dipende dal coefficiente del termine quadratico. Se $3 p_2^2-m_2^2>0$ allora la disequazione è soddisfatta solo per $p_\parallel$ al di fuori dell’intervallo tra le due soluzioni; mentre invece per $3 p_2^2-m_2^2<0$ la disequazione è soddisfatta per $p_\parallel$ all’interno dell’intervallo.
Poiché $p_2, \Delta > 0$, troviamo che $p_\parallel^{(-)}$ ha segno opposto rispetto a $3 p_2^2-m_2^2$. Al contrario, $p_\parallel^{(+)}$ ha lo stesso segno di $m_3^2 \pqty{p_2^2 + m_2^2} -\Delta^2$. Inoltre è facile vedere che $p_\parallel^{(+)} > p_\parallel^{(-)}$ se $3 p_2^2-m_2^2$ è positivo e viceversa se è negativo.
Ora vogliamo controllare la seconda condizione $2 p_2 p_\parallel +\Delta > 0$. Abbiamo
$$2 p_2 p_\parallel^{(\pm)} +\Delta =\frac{-\Delta\pqty{p_2^2+m_2^2}\pm 2 p_2\sqrt{4 p_2^2 \Delta^2 -\pqty{3 p_2^2-m_2^2}\pqty{\Delta^2 -m_3^2 \pqty{p_2^2 +m_2^2}}}}{3 p_2^2-m_2^2}$$
Perciò $2 p_2 p_\parallel^{(-)} +\Delta$ ha lo stesso segno di $p_\parallel^{(-)}$ mentre $2 p_2 p_\parallel^{(+)} +\Delta$ è sempre positivo.
Ora riassumiamo.
- Se $3p_2^2-m_2^2 > 0$ allora $p_\parallel^{(-)} < p_\parallel^{(+)}$ e la parabola è rivolta verso l’alto; perciò la disequazione quadratica è soddisfatta per $p_\parallel < p_\parallel^{(-)}$ oppure $p_\parallel > p_\parallel^{(+)}$. Tuttavia la disequazione lineare è soddisfatta da $p_\parallel^{(+)}$ ma non da $p_\parallel^{(-)}$, perciò in totale per $3p_2^2-m_2^2 > 0$ l’intervallo di integrazione non-nullo è $p_\parallel > p_\parallel^{(+)}$.
- Se invece $3p_2^2-m_2^2 < 0$ allora $p_\parallel^{(-)} > p_\parallel^{(+)}$ e la parabola è rivolta verso il basso; perciò la disequazione quadratica è soddisfatta per $p_\parallel^{(+)} < p_\parallel < p_\parallel^{(-)}$. Inoltre la disequazione lineare è soddisfatta da entrambe le soluzioni, perciò in totale per $3p_2^2-m_2^2 < 0$ l’intervallo di integrazione non-nullo è $p_\parallel^{(+)} < p_\parallel < p_\parallel^{(-)}$
Perciò una volta sostituita la delta per $p_\perp$ ed effettuata l’integrazione rispetto a $p_\parallel$ negli intervalli sopra, rimane solo da effettuare l’integrazione rispetto a $p_2$. Tutte queste integrazioni dipenderanno dalla funzione $f$.