Supponiamo che $G$ sia un gruppo di ordine $p^2$ dove $p$ è primo. In questo caso abbiamo solamente due possibilità: o $G$ è il gruppo ciclico $\Z_{p^2}$ oppure $G$ è il prodotto diretto $\Z_{p} \times \Z_{p}$. In particolare un gruppo di ordine $p^2$ è abeliano.
Procediamo alla dimostrazione. Innanzitutto il seguente lemma:
Lemma. Sia $G$ un gruppo e $Z(G)$ il suo centro. Se $G/Z(G)$ è ciclico, allora $G$ è abeliano.
Dimostrazione. Poiché il centro di un gruppo è sempre un sottogruppo normale, il quoziente $G/Z(G)$ è sempre un gruppo. Poiché è ciclico, sarà generato da un elemento $g Z(G) \in G/Z(G)$.
Poiché le classi laterali partizionano il gruppo, ogni elemento $h \in G$ potrà quindi essere espresso come $h = g^n z$ dove $z \in Z(G)$. Pertanto consideriamo due elementi, $h_1 = g^{n_1} z_1$ e $h_2 = g^{n_2} z_2$. Abbiamo
$$h_1 h_2 = g^{n_1} z_1 g^{n_2} z_2 = g^{n_1} g^{n_2}z_1 z_2 = g^{n_2} z_2 g^{n_1} z_1 = h_2 h_1 $$
dove abbiamo utilizzato il fatto che $z_1$ e $z_2$ commutano con tutti gli elementi, essendo membri del centro. Perciò segue che $G$ è abeliano. $\square$
Dimostriamo anche un secondo lemma:
Lemma. Sia $G$ un gruppo di ordine $p^n$ con $p$ primo. Allora $G$ ha centro non banale, cioè $\abs{Z(G)} > 1$.
Dimostrazione. Sappiamo che le classi di coniugazione partizionano un gruppo, e che ogni elemento del centro, commutando con tutti gli elementi del gruppo, forma una classe a sé. Perciò abbiamo
$$\abs{G} = \sum_{C \mathrm{\,non\,banale}} \abs{C} + \abs{Z(G)}$$
dove la somma è su tutte le classi di coniugazione non banali, cioè quelle con $\abs{C} \neq 1$. Infatti se $\abs{C}=1$ l’elemento corrispondente è nel centro del gruppo. Per il teorema orbita-stabilizzatore $\abs{C}$ divide l’ordine del gruppo, e poiché $G$ ha ordine $p^n$ allora se $C$ è non banale abbiamo che $p$ divide $\abs{C}$. Perciò $p$ divide il membro sinistro e il primo termine del membro destro dell’equazione sopra, e perciò $p$ divide $\abs{Z(G)}$. Poiché l’identità fa sempre parte del centro, allora $\abs{Z(G)} \geq 1$ e perciò poiché $p | \abs{Z(G)}$ allora $\abs{Z(G)} \geq p$. Ne concludiamo che il centro è non banale. $\square$
Ora torniamo alla proposizione iniziale:
Teorema. Sia $G$ un gruppo di ordine $p^2$. Allora $G=\Z_{p^2}$ oppure $G=\Z_{p} \times \Z_{p}$.
Dimostrazione. Innanzitutto dimostriamo che $G$ è abeliano. Infatti il centro $Z(G)$ è un sottogruppo e quindi può avere ordine $1$, $p$ o $p^2$. Ma per il lemma precedente $Z(G)$ non può avere ordine uno, mentre se ha ordine $p^2$ allora è tutto il gruppo, che è quindi abeliano. Se invece ha ordine $p$, allora anche $G/Z(G)$ ha ordine $p$ e quindi è ciclico, e quindi per il lemma iniziale il gruppo $G$ è di nuovo abeliano.
Ora se il gruppo $G$ ha un elemento di ordine $p^2$, allora è ciclico. Altrimenti, tutti gli elementi diversi dall’identità hanno ordine $p$. Se $a$ è un elemento di ordine $p$, esso allora genera un sottogruppo $\expval{a}$ di ordine $p$, che tuttavia non può essere tutto il gruppo, che ha ordine $p^2$. Perciò esisterà un altro elemento $b \not\in \expval{a}$, anch’esso di ordine $p$. Perciò i due sottogruppi generati da $a$ e $b$ hanno in comune solo l’identità e commutano tra loro perché il gruppo è abeliano. Essi generano perciò in comune il gruppo $\Z_{p} \times \Z_{p}$ che, avendo ordine $p^2$, è tutto il gruppo. $\square$.