Capita spesso in diverse applicazioni di dover scegliere un punto in maniera uniforme all’interno di una sfera tridimensionale, oppure di dover scegliere un vettore unitario casuale in tre dimensioni, il che è equivalente a scegliere un punto a caso sulla superficie della sfera.
Banalmente si potrebbe pensare che basterebbe scegliere in modo uniforme un raggio $r$ e due angoli $\theta$ e $\varphi$, ma poiché la legge di trasformazione è non-lineare, ciò non risulta in una distribuzione uniforme per i punti nella sfera. Ad esempio poiché il raggio di una superficie sferica va come $r^2$ ci sono più punti da scegliere in una sfera di raggio maggiore; invece scegliendo un raggio uniformemente stiamo penalizzando i punti con raggio più grande a scapito di quelli con raggio più piccolo. La stessa cosa avviene con l’angolo $\theta$.
Scegliere un punto uniformemente sulla sfera
In particolare, utilizzando le coordinate cartesiane, la densità di probabilità di pescare un punto $(x,y,z)$ uniformemente dalla sfera con raggio $R$ è per definizione costante. Perciò se $V$ è un volume interamente contenuto nella sfera, la probabilità di pescare un punto uniformemente a caso nella regione $V$ è
$$P(V) = \frac{1}{\frac43 \pi R^3}\int_V dx\,dy\,dz$$
dove la densità di probabilità è normalizzata dal volume della sfera, in modo che la probabilità associata alla sfera intera è uguale a $1$. In altre parole la probabilità di pescare il punto in una regione $V$ è proporzionale al volume di $V$.
Ora possiamo passare dalle coordinate cartesiane alle coordinate sferiche, ottenendo
$$P(V) = \frac{1}{\frac43 \pi R^3}\int_V r^2 \sin\theta\, dr\,d\theta\,d\varphi$$
Il significato dell’equazione non cambia, ma vediamo che espressa nelle variabili sferiche la densità di probabilità non è più costante e quindi non è più uniforme. Tuttavia poiché la densità di probabilità fattorizza nel prodotto di tre densità diverse per le tre variabili, possiamo estrarre $r$, $\theta$ e $\varphi$ indipendentemente l’una dall’altra. In particolare:
- $r$ dev’essere estratta con densità di probabilità quadratica $f(r) = \frac{3}{R^3} r^2$ per $0 \leq r \leq R$;
- $\theta$ dev’essere estratta con densità di probabilità sinusoidale $f(\theta)=\frac12 \sin{\theta}$ per $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$;
- $\varphi$ dev’essere estratta con densità di probabilità uniforme $f(\varphi)=\frac{1}{2\pi}$ per $0 \leq \theta \leq 2\pi$.
Ognuna delle tre densità $f(r)$, $f(\theta)$ e $f(\varphi)$ è separatamente normalizzata e il prodotto delle tre $f(r)f(\theta)f(\varphi) = \frac{1}{\frac43 \pi R^3} r^2 \sin\theta$ è la densità di probabilità per estrarre un punto $r,\theta,\varphi$ uniformemente dalla sfera.
Notiamo che per calcolare le medie degli angoli $\theta$ e $\varphi$ bisogna stare attenti dato che sono periodici: in tal caso è talvolta più semplice tornare indietro alle coordinate cartesiane
Scegliere un punto uniformemente sulla superficie sferica
Per la superficie sferica possiamo fare lo stesso discorso di prima. La probabilità di estrarre il punto in una superficie $S$ interamente contenuta nella superficie sferica di raggio $R$ è
$$P(S) = \frac{1}{4\pi R^2} \int_S dS = \frac{1}{4\pi} \int_S \sin\theta\,d\theta d\varphi $$
dove abbiamo di nuovo usato le coordinate sferiche in cui $dS = R^2 \sin\theta\,d\theta d\varphi$. Per cui di nuovo:
- $\theta$ dev’essere estratta con densità di probabilità sinusoidale $f(\theta)=\frac12 \sin{\theta}$ per $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$;
- $\varphi$ dev’essere estratta con densità di probabilità uniforme $f(\varphi)=\frac{1}{2\pi}$ per $0 \leq \theta \leq 2\pi$.
Avremmo potuto ricavare lo stesso risultato notando quanto segue. Scegliere un punto sulla superficie sferica è la stessa cosa che scegliere una direzione nella sfera, ovvero di scegliere un punto sulla sfera e trascurarne il raggio. Per cui avremmo anche potuto partire dalla densità di probabilità della sfera e integrare via il raggio:
$$\frac{1}{\frac43 \pi R^3}\int_V r^2 \sin\theta\, dr\,d\theta\,d\varphi = \frac{1}{4\pi}\int_S \sin\theta\,d\theta\,d\varphi$$
dove $S$ è la proiezione di $V$ sulla superficie sferica. I due risultati sono identici.