Un intrecciatore in teoria dei gruppi (in inglese intertwiner) è una mappa che “intreccia” due diverse rappresentazioni. Ovvero date due rappresentazioni $(V_1,\rho_1)$ e $(V_2, \rho_2)$ allora un intrecciatore $\phi$ tra $V_1$ e $V_2$ è una mappa $\phi: V_1 \to V_2$ tale che $\phi \rho_1 = \rho_2 \phi$. Il caso più famoso dell’uso di intrecciatori è nel lemma di Schur, per il quale un intrecciatore tra due rappresentazioni irriducibili è nullo (se le rappresentazioni non sono equivalenti) oppure proporzionale all’identità (se sono equivalenti).
In questo articolo mostriamo una connessione tra il concetto di intrecciatore e quello di vettore invariante di una rappresentazione. Ovvero dimostriamo che date due rappresentazioni $\rho$ e $\lambda$, allora
$$\mathrm{Inv}(\rho^* \otimes \lambda) = \mathrm{Hom}_G(\rho, \lambda)$$
dove $\mathrm{Inv}(\rho)$ è lo spazio dei vettori invarianti della rappresentazione $\rho$ e $\mathrm{Hom}_G(\rho, \lambda)$ è lo spazio degli intrecciatori tra $\rho$ e $\lambda$.
Abbiamo dimostrato in un precedente articolo che lo spazio $\mathrm{Hom}(\rho, \lambda)$ delle mappe lineari $V_\rho \to V_\lambda$ ammette esso stesso una rappresentazione, che è equivalente alla rappresentazione $\rho^* \otimes \lambda$. Resta quindi da dimostrare che i vettori invarianti in $\rho^* \otimes \lambda$ corrispondono agli intrecciatori, ovvero che un intrecciatore è precisamente un vettore invariante in $\mathrm{Hom}(\rho, \lambda)$.
Un vettore invariante in $\mathrm{Hom}(\rho, \lambda)$ è una mappa lineare $\phi$ che soddisfa $\tau(g) \phi = \phi$ dove $\tau$ è la rappresentazione su $\mathrm{Hom}(\rho, \lambda)$ indotta da $\rho$ e $\lambda$. Poiché abbiamo visto che $\tau(g)(\phi) = \lambda(g)\phi\rho(g^{-1})$, allora la condizione di invarianza è equivalente a
$$\tau(g) \phi = \phi\\
\leftrightarrow \quad \lambda(g)\phi\rho(g^{-1}) = \phi\\
\leftrightarrow \quad \lambda(g)\phi = \phi \rho(g)$$
il che vuol dire che $\phi$ intreccia le rappresentazioni $\rho$ e $\lambda$.