Lo spazio degli omomorfismi come rappresentazione

Dati due spazi vettoriali $V$ e $W$ possiamo definire lo spazio $\mathrm{Hom}(V, W)$ delle mappe lineari $V \to W$. In tal caso è noto il risultato che

$$V^* \otimes W \cong \mathrm{Hom}(V,W)$$

che andiamo a dimostrare fra poco. Ora se $V$ e $W$ sono spazi di rappresentazione, ovvero abbiamo un gruppo $G$ e una rappresentazione $\rho$ su $V$ e una rappresentazione $\lambda$ su $W$, allora abbiamo una rappresentazione di $G$ anche su $\mathrm{Hom}(V, W)$. Chiamiamo la rappresentazione $\tau$ ed è data da

$$\tau(g)(\phi) = \lambda(g)\circ\phi\circ\rho(g^{-1})$$

dove appunto $\phi \in \mathrm{Hom}(V, W)$ è una mappa lineare $\phi: V \to W$. Chiaramente $\tau(g)(\phi)$ è una mappa lineare $V \to W$ per ogni $\phi$. Non è difficile dimostrare che è una rappresentazione. Infatti

$$\begin{align*} \tau(g)\pqty{\tau(h)(\phi)} &= \lambda(h)\circ \pqty{\tau(h)(\phi)} \circ\rho(g^{-1})=\\ &=\lambda(g)\lambda(h)\circ\phi\circ\rho(h^{-1})\rho(g^{-1})=\\ &=\lambda(gh)\circ\phi\circ\rho((gh)^{-1})=\tau(gh)(\phi) \end{align*}$$

Nel caso particolare in cui $W = \C$ allora l’identità tra spazi vettoriali si riduce al fatto noto che $V^* = \mathrm{Hom}(V, \C)$, cioè che lo spazio duale è isomorfo allo spazio dei funzionali lineari. Ora il punto è che $V^* \otimes W \cong \mathrm{Hom}(V,W)$ è valida non solo per gli spazi vettoriali, ma anche per le corrispondenti rappresentazioni, cioè

$$\rho^* \otimes \lambda = \mathrm{Hom}(\rho, \lambda)$$

Andiamo a dimostrare entrambi i fatti. Dato un elemento $\chi \otimes w \in V^* \otimes W$, abbiamo che $\chi: V \to \C$ è una mappa lineare, mentre $w \in W$ è un vettore. Abbiamo perciò la mappa $f: V^* \otimes W \to \mathrm{Hom}(V, W)$ data da

$$f(\chi \otimes w)(v) = \chi(v) w$$

e poi estendendo linearmente sul prodotto tensoriale. Per ogni $v \in V$, la mappa $v \to \chi(v) w$ con $w$ fissato è una mappa lineare e quindi in $\mathrm{Hom}(V,W)$; inoltre poiché la mappa è bilineare è ben definita sul prodotto tensoriale. Per dimostrare che la mappa è un isomorfismo ne troviamo l’inversa. Sia $g: \mathrm{Hom}(V, W)\to V^* \otimes W$ la mappa

$$g(\phi) = \sum_i e_i^* \otimes \phi(e_i)$$

dove $\phi \in \mathrm{Hom}(V, W)$, e inoltre $\{e_i\}$ è una base di $V$, mentre $\{e_i^*\}$ la sua base duale, che è una base di $V^*$. Le due mappe sono inverse l’una dell’altra perché

$$f(g(\phi))(v)= f\pqty{\sum_i e_i^* \otimes \phi(e_i)}(v) = \sum_i e_i^*(v) \phi(e_i) = \phi\pqty{\sum_i e_i^*(v) e_i} = \phi(v)$$

per cui $f(g(\phi))=\phi$. Abbiamo usato l’uguaglianza $\sum_i e_i^*(v) e_i = v$, che è valida perché espandendo $v$ in una base abbiamo $v = \sum_i v_i e_i$ e quindi poiché $e_i^*$ è la base duale, $e_j^*(v) = \sum_i v_i e_j^*(e_i) = v_j$. Dall’altro lato, calcoliamo invece

$$g(f(\chi \otimes w)) = \sum_i e_i^* \otimes \pqty{\chi(e_i) w} = \sum_i \pqty{\chi(e_i) e_i^*} \otimes w = \chi \otimes w$$

dove abbiamo usato il fatto che $\chi(e_i)$ è un numero. Resta solo da dimostrare l’equivalenza tra le due rappresentazioni, ovvero che $f (\rho^*(g) \otimes \lambda(g)) = \tau(g) f$. Abbiamo infatti

$$\begin{align*} \bqty{\tau(g) \pqty{f(\chi \otimes w)}}(v) &= {\lambda(g) \circ f(\chi \otimes w) \circ\rho(g^{-1}) }(v)=\\ &=\lambda(g) \chi\pqty{\rho(g^{-1})v)} w = \\ &= \chi\pqty{\rho(g^{-1})v)}  \lambda(g)w = \\ &= \pqty{\rho(g)^*\chi}(v)  \lambda(g)w = \\ &=f(\rho(g)^*\chi \otimes \lambda(g)w ) (v)=\\ &=f((\rho(g)^* \otimes \lambda(g)) (\chi \otimes w)) (v) \end{align*}$$

e ciò conclude la dimostrazione. Notiamo che abbiamo usato la definizione di mappa duale. Infatti $A^*: V^* \to V^*$ è data da $A^*(\chi)(v)=\chi(A(v))$.

Più in generale, abbiamo l’equivalenza,

$$\mathrm{Hom}(\rho \otimes \mu,  \lambda)=\mathrm{Hom}(\rho, \mathrm{Hom}(\mu,  \lambda))$$

che vale sia al livello di spazi vettoriali sia a livello di rappresentazioni.