La rappresentazione di Källén-Lehmann è una maniera di scrivere il valore atteso di una funzione di correlazione in termini del propagatore libero di una teoria quantistica dei campi. Il risultato è particolarmente interessante perché è non-perturbativo.
Partiamo da un campo scalare complesso $\Phi$ e consideriamo la funzione di correlazione $\bra{0} \Phi(x) \Phi(y)^\dagger \ket{0}$ dove $\ket{0}$ è il vuoto della teoria interagente, ovvero lo stato fondamentale dell’Hamiltoniana $H$. Supponiamo che l’Hamiltoniana sia invariante per traslazioni, ovvero che commuti con l’operatore impulso, $[H, \vec{P}]=0$. In tal caso possiamo scegliere una base di autostati di $H$ che chiamiamo $\ket{n}$ che sono simultaneamente autostati di $\vec{P}$. Ognuno di questi stati avrà quindi un’autovalore del quadrimpulso $p_n$ tale che $(p_n)^2 = (p_n)_\mu (p_n)^\mu > 0$, poiché la teoria è causale, e $(p_n)_0 = E_n > 0$ perché possiamo scegliere l’Hamiltoniana positiva al massimo aggiungendo una costante. Inserendo una base di autostati abbiamo allora
$$\bra{0} \Phi(x) \Phi(y)^\dagger \ket{0} = \sum_n \bra{0} \Phi(x) \ket{n} \bra{n} \Phi(y)^\dagger \ket{0}$$
Ora chiamiamo $U(x)$ l’operatore unitario che implementa nello spazio di Hilbert le traslazioni di quadrivettore $x$. Allora abbiamo $\Phi(x) = U(x)^\dagger \Phi(0) U(x)$. Inoltre il vuoto della teoria si suppone invariante per traslazioni e quindi soddisfa $U(x)\ket{0} = \ket{0}$ per ogni $x$. Inoltre le traslazioni sono generate dal quadrimpulso, per cui $U(x) = \exp{\pqty{-i x_\mu P^\mu}}$ dove $P^\mu = (H, \vec{P})$ è l’operatore quadrimpulso. Perciò poiché gli $\ket{n}$ sono autostati del quadrimpulso, otteniamo
$$\bra{0} \Phi(x) \ket{n} = \underbrace{\bra{0} U(x)^\dagger}_{=\bra{0}} \Phi(0) U(x) \ket{n} = e^{-i p_n \cdot x} \bra{0} \Phi(0) \ket{n} $$
Perciò
$$\bra{0} \Phi(x) \Phi(y)^\dagger \ket{0} = \sum_n e^{-i p_n \cdot (x-y)} \abs{\bra{0} \Phi(0) \ket{n}}^2$$
Questa decomposizione è in pratica identica alla decomposizione spettrale che abbiamo visto in un altro articolo. Ora inseriamo un’integrazione su $p$ e una corrispondente funzione delta:
$$\bra{0} \Phi(x) \Phi(y)^\dagger \ket{0} = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} e^{-i p \cdot (x-y)} \sum_n \delta^{(4)}(p-p_n) \abs{\bra{0} \Phi(0) \ket{n}}^2$$
Consideriamo la somma su $n$. Vogliamo dimostrare che a parte il requisito per cui $p_0 > 0$ la somma dipende solo da $p^2$, per cui poniamo
$$F(p) \theta(p_0) = \sum_n \delta^{(4)}(p-p_n) \abs{\bra{0} \Phi(0) \ket{n}}^2$$
dove $\theta$ è la funzione scalino. È chiaro che se $p_0 < 0$ allora la somma sarà nulla perché tutti i $p_n$ hanno $(p_n)_0 > 0$ come abbiamo visto sopra. Perciò la presenza della $\theta$ è necessaria. Ora vogliamo dimostrare che $F(p)$ dipende da $p$ solo tramite $p^2$. Consideriamo una trasformazione di Lorentz $\Lambda$ ortocrona, cioè $(\Lambda p)_0 > 0$ se $p_0 > 0$. Vogliamo dimostrare che $F(\Lambda p) = F(p)$. Allora abbiamo
$$F(\Lambda p) = \sum_n \delta^{(4)}(\Lambda p-p_n) \abs{\bra{0} \Phi(0) \ket{n}}^2$$
La funzione delta soddisfa
$$\delta^{(4)}(\Lambda p-p_n) = \frac{1}{\abs{\det{\Lambda}}} \delta^{(4)}(p-\Lambda^{-1} p_n)=\delta^{(4)}(p-\Lambda^{-1} p_n)$$
poiché le trasformazioni di Lorentz hanno determinante $\pm 1$. A questo punto rimane da dimostrare che $\Lambda^{-1}p_n = p_m$ per un qualche $m$, ovvero l’insieme dei $\{ p_n \}$ è chiuso rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Sia $U(\Lambda)$ l’operatore che implementa una trasformazione di Lorentz $\Lambda$. Poiché $\ket{n}$ è un autostato di $P_\mu=(H,\vec{P})$ con autovalore $(p_n)_\mu$, allora per l’invarianza di Lorentz, $U(\Lambda)\ket{n}$ sarà di nuovo un autostato di $P_\mu=(H,\vec{P})$ con autovalore $(\Lambda p_n)_\mu$ e perciò appare nello spettro come uno degli stati $\ket{n}$, cioè $U(\Lambda)\ket{n}=\ket{m}$ per un qualche $m$. Perciò applicare una trasformazione di Lorentz mescola tra loro gli stati $\{\ket{n}\}$ ma non produce nulla di nuovo.
Perché $F(\Lambda p) = F(p)$ dobbiamo anche dimostrare che i coefficienti corrispondenti siano identici. Infatti abbiamo
$$\bra{0} \Phi(0) \ket{m} = \bra{0} \Phi(0) U(\Lambda) \ket{n} = \bra{0} U(\Lambda) U(\Lambda)^\dagger \Phi(0) U(\Lambda) \ket{n} = \bra{0} \Phi(\Lambda^{-1} 0)\ket{n} = \bra{0} \Phi(0)\ket{n}$$
dove abbiamo usato il fatto che il vuoto è invariante di Lorentz e la legge di trasformazione del campo scalare $U(\Lambda)^\dagger \Phi(x) U(\Lambda) = \Phi(\Lambda^{-1} x)$.
Perciò abbiamo $F(\Lambda p) = F(p)$ e quindi $F$ può dipendere da $p$ solo tramite un invariante di Lorentz, cioè $p^2$. Per cui poniamo $F(p) \equiv \rho(p^2)$, dove $\rho$ viene detta densità spettrale. A questo punto abbiamo:
$$\bra{0} \Phi(x) \Phi(y)^\dagger \ket{0} = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} e^{-i p \cdot (x-y)} \rho(p^2) \theta(p_0)$$
Ora inseriamo una nuova integrazione fittizia e una corrispondente funzione delta
$$\bra{0} \Phi(x) \Phi(y)^\dagger \ket{0} = \int_0^\infty d\mu^2 \rho(\mu^2) \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \delta(p^2-\mu^2) e^{-i p \cdot (x-y)}\theta(p_0)$$
L’ultimo integrale è un propagatore per il campo scalare, in particolare è il propagatore avanzato $\Delta^+(x-y;\mu^2)$, per cui otteniamo finalmente la rappresentazione di Källén-Lehmann:
$$\bra{0} \Phi(x) \Phi(y)^\dagger \ket{0} = \int_0^\infty d\mu^2 \rho(\mu^2) \Delta^+(x-y;\mu^2)$$
Alla stessa maniera se inseriamo un ordinamento temporale otteniamo invece il propagatore di Feynman,
$$\bra{0} T \Phi(x) \Phi(y)^\dagger \ket{0} = \int_0^\infty d\mu^2 \rho(\mu^2) \Delta_F(x-y;\mu^2)$$
In pratica stiamo integrando su tutte le possibili masse quadrate $\mu^2$ e ognuna corrisponde ad un fattore del propagatore con la corrispondente massa. Utilizzando un’espressione alternativa per il propagatore di Feynman ed esplicitando $\rho$, la rappresentazione di Källén-Lehmann viene anche scritta come
$$\bra{0} T \Phi(x) \Phi(y)^\dagger \ket{0} =\sum_{n} \abs{\bra{0} \Phi(0)\ket{n}}^2 \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \frac{e^{-ip(x-y)}}{p^2-(p_n)^2+i\epsilon}$$
Ovvero nello spazio dei momenti,
$$\int d^4 x\, e^{ipx} \bra{0} T \Phi(0) \Phi(x)^\dagger \ket{0} =\sum_{n} \abs{\bra{0} \Phi(0)\ket{n}}^2 \frac{1}{p^2-(p_n)^2+i\epsilon}$$
Perciò il propagatore della teoria interagente ha un polo in ogni punto dello spettro che corrisponde alla massa di uno stato $(p_n)^2 = m_n^2$.