Abbiamo visto in un precedente articolo le identità di Ward-Takahashi nel formalismo dell’integrale sui cammini. In questo articolo vediamo lo stesso concetto in maniera “algebrica”, nel senso degli assiomi di Wightman.
Supponiamo ad esempio di voler dimostrare che la funzione a due punti $\bra{0}\phi(x) \phi(y)\ket{0}$ dipende solo dalla differenza $x-y$ e non da $x$ e $y$ individualmente. Sappiamo bene che ciò è dovuto alla simmetria per traslazioni, ma vogliamo dimostrarlo in maniera formale. Allora prendiamo il generatore delle traslazioni $P^\mu$ e poiché sappiamo che il vuoto è invariante rispetto a tutte le trasformazioni di simmetria, abbiamo $P^\mu \ket{0}=\ket{0}$ e quindi commutando con $\phi(x)$ otteniamo
$$\bra{0}\phi(x) \phi(y)\ket{0}= \bra{0} P^\mu \phi(x) \phi(y)\ket{0} = \bra{0} [P^\mu, \phi(x)] \phi(y) \ket{0} + \bra{0} \phi(x) P^\mu \phi(y)\ket{0}$$
Perciò commutando di nuovo con $\phi(y)$ e banalmente applicando $P^\mu$ al vuoto otteniamo
$$\bra{0}\phi(x) \phi(y)\ket{0}= \bra{0} [P^\mu, \phi(x)] \phi(y) \ket{0} + \bra{0} \phi(x) [P^\mu, \phi(y)]\ket{0} + \bra{0}\phi(x) \phi(y)\ket{0}$$
e quindi da qui abbiamo l’identità di Ward-Takahashi
$$\bra{0} [P^\mu, \phi(x)] \phi(y) \ket{0} + \bra{0} \phi(x) [P^\mu, \phi(y)]\ket{0}=0$$
Sappiamo bene che $[P^\mu, \phi(x)] = -i\partial_x \phi(x)$ e quindi spostando le derivate fuori dal valore atteso abbiamo
$$\pqty{\partial_x + \partial_y} \bra{0}\phi(x) \phi(y)\ket{0} = 0$$
Ora effettuiamo il cambio di variabili $u = x+y$ e $v=x-y$ allora abbiamo $x = (u+v)/2$ e $y=(u-v)/2$, perciò
$$\pdv{}{u} = \frac12 \pqty{\pdv{}{x} + \pdv{}{y}}$$
Perciò l’identità di Ward-Takahashi ci dice che $\pdv{}{u}\bra{0}\phi(x) \phi(y)\ket{0} = 0$, ovvero la funzione $G(x,y)=\bra{0}\phi(x) \phi(y)\ket{0}$ dipende solo da $v=x-y$ e non da $u=x+y$.
Più in generale, data una generica funzione a $n$ punti, possiamo di nuovo fare lo stesso giochetto: applicare una carica conservata $Q$ al vuoto, commutarla con tutti i termini, e poi azzerarla di nuovo al vuoto, ottenendo quindi l’identità di Ward per la corrispondente simmetria.
Da notare che mentre le funzioni di correlazione che otteniamo dall’integrale sui cammini sono ordinate temporalmente, le funzioni di correlazione che consideriamo in questo caso sono letteralmente ciò che appaiono.