Supponiamo di avere una matrice diagonalizzabile $A$ con un autovalore $\lambda$. Vogliamo quindi costruire il proiettore $P$ che proietta sull’autospazio con autovalore $\lambda$. Poiché $P$ è un proiettore, deve soddisfare $P^2=P$.
Chiaramente se conosciamo gli autovettori possiamo costruire manualmente la matrice $P$ che ha gli stessi autovettori, e autovalori uguali ad $1$ nell’autospazio d’interesse e zero altrimenti. Tuttavia, è possibile costruire il proiettore $P$ anche senza conoscere gli autovettori. In particolare supponiamo che $A$ abbia autovalori $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$. Allora il proiettore sull’$i$-esimo autospazio è dato da
$$P_i = \prod_{j \neq i} \frac{A-\lambda_j}{\lambda_i -\lambda_j}$$
Per dimostrare che questo è effettivamente il proiettore che cerchiamo effettuiamo la decomposizione $A = S D S^{-1}$ dove $D$ è diagonale e quindi
$$P_i = S \prod_{j \neq i} \frac{D-\lambda_j}{\lambda_i -\lambda_j} S^{-1}$$
La matrice $D-\lambda_j$ è di nuovo diagonale e ha gli elementi corrispondenti all’autovalore $j$ nulli. Perciò poiché $D-\lambda_j$ è diagonale, prendendo il prodotto su tutti i $j \neq i$, la matrice $\prod_{j \neq i} \pqty{D-\lambda_j}$ sarà di nuovo diagonale con tutti gli elementi nulli tranne quelli corrispondenti all’autovalore $\lambda_i$, i quali saranno tutti identici e uguali a $\prod_{j \neq i} \pqty{\lambda_i-\lambda_j}$. Perciò dividendo per questo fattore abbiamo che la matrice $S^{-1} P_i S$ è diagonale e ha autovalori uguali a $1$ nell’autospazio corrispondente a $\lambda_i$ e nulli altrimenti. Perciò $P_i$ è effettivamente il proiettore sull’autospazio di $\lambda_i$ e soddisfa $P_i^2 = P_i$ e inoltre $\sum_i P_i = 1$.
Come esempio preso da Wikipedia, consideriamo la matrice
$$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$$
che ha come autovalori $-2$ e $5$. Possiamo quindi costruire i proiettori
$$P_{-2} = \frac{A-5}{-2 -5} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}\\
P_{5} = \frac{A-(-2)}{5 -(-2)} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$$
I proiettori soddisfano $P_{-2}^2 = P_{-2}$, $P_{5}^2 = P_{5}$ e inoltre $P_{-2} + P_5=1$. Consideriamo ad esempio il secondo proiettore. Un vettore generico $\vec{x}$ sarà mappato a
$$P_5 \vec{x} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac17 \begin{pmatrix} 3x+3y \\ 4x+4y \end{pmatrix}$$
Possiamo quindi controllare che
$$A P_5 \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \frac17 \begin{pmatrix} 3x+3y \\ 4x+4y \end{pmatrix} = \frac17 \begin{pmatrix} 15x+15y \\ 20x+20y \end{pmatrix} = 5 P_5 \vec{x}$$
e quindi effettivamente $P_5$ proietta sull’autospazio con autovalore $5$.