Il teorema di Ehrenfest afferma che le equazioni del moto di Newton siano valide anche in meccanica quantistica per i rispettivi operatori se messi dentro specifici valori attesi. In generale abbiamo
$$m \dv{}{t} \expval{x} = \expval{p}\\
\dv{}{t} \expval{p} = -\expval{V'(x)}$$
Il teorema viene spesso interpretato dicendo che nei valori attesi la fisica quantistica si riduce alla fisica classica. Ciò non è strettamente vero, perché nella seconda equazione il valore atteso è fuori dal potenziale piuttosto che dentro; perciò non è possibile risolvere le equazioni di Ehrenfest come risolveremmo le equazioni di Newton. Ovvero per calcolare $\expval{V'(x)}$ non è sufficiente conoscere $\expval{x}$ e $V$, ma serve anche lo stato quantistico su cui calcoliamo i valori attesi.
In alcuni casi particolari però le equazioni di Ehrenfest sono davvero interpretabili nel senso delle equazioni di Newton. Ciò avviene quando, per miracolo, $\expval{V'(x)}$ è esprimibile in soli termini di $\expval{x}$. Un esempio banale è il caso $V(x) \equiv 0$, cioè la particella libera. Un esempio non banale e perciò particolarmente interessante è l’oscillatore armonico quantistico $V(x) = \frac12 m \omega^2 x^2$, per cui
$$\expval{V'(x)}=m \omega^2 \expval{x}$$
In tal caso le equazioni di Ehrenfest diventano
$$m \dv{}{t} \expval{x} = \expval{p}\\
\dv{}{t} \expval{p} =-m \omega^2 \expval{x}$$
Possiamo quindi sostituire una nell’altra, ottenendo
$$\dv{^2}{t^2} \expval{x} + \omega^2 \expval{x} = 0$$
e quindi abbiamo
$$\expval{x} = A \cos{\pqty{\omega t}} + B \sin{\pqty{\omega t}}\\
\expval{p} = m\omega\bqty{ – A \sin{\pqty{\omega t}} + B \cos{\pqty{\omega t}}}$$
Ovvero il comportamento dei valori attesi è del tutto indipendente dallo stato che scegliamo se non per le condizioni iniziali. Per questo motivo gli autostati dell’oscillatore armonico sono spesso chiamati “stati quasi-classici”.