È interessante classificare tutti i i gruppi con “poche” classi di coniugazione. Sappiamo che l’elemento identità forma sempre una classe a sé. Perciò se un gruppo ha una sola classe di coniugazione allora è il gruppo con un solo elemento. In questo articolo classifichiamo i gruppi con due o tre classi di coniugazione.
Gruppi con due classi di coniugazione
Cerchiamo i gruppi $G$ con due classi di coniugazione. Come sempre, una classe è formata dall’identità e ha $1$ elemento, mentre tutti gli altri elementi fanno parte dell’altra classe, che ha quindi $\abs{G}-1$ elementi. Ma per il teorema orbita-stabilizzatore il numero di elementi di una classe di coniugazione divide $\abs{G}$, per cui $\abs{G}-1$ divide $\abs{G}$. Poiché $\abs{G}-1 \neq \abs{G}$, allora $\frac{\abs{G}}{\abs{G}-1}$ è un intero maggiore o uguale a $2$, perciò
$$\frac{\abs{G}}{\abs{G}-1} \geq 2 \quad \quad \implies \quad \quad 2\geq \abs{G}$$
e quindi poiché $G$ ha almeno due elementi, $\abs{G}=2$. C’è solo un gruppo con due elementi, e quindi l’unico gruppo con due classi di coniugazione è $\Z_2$, il gruppo ciclico con due elementi.
Gruppi con tre classi di coniugazione.
In questo caso abbiamo di nuovo la classe corrispondente all’identità, e oltre a questa altre due classi. Possiamo supporre che abbiano $n$ e $m$ elementi rispettivamente, e quindi $\abs{G}=n+m+1$. Di nuovo per il teorema orbita-stabilizzatore il numero di elementi in una classe divide $\abs{G}$ e quindi sia $n$ che $m$ dividono $\abs{G}$. Perciò poiché $\abs{G}=n+m+1$, allora poiché $m$ divide sia $\abs{G}$ che se stesso allora $m$ divide $n+1$, e per lo stesso ragionamento $n$ divide $m+1$. Ora possiamo supporre che $n \leq m$ senza perdita di generalità e quindi poiché $m$ divide $n+1$, abbiamo due possibilità: o $m=n+1$ oppure $m=1$. Nel secondo caso ciò implica direttamente che $n=m=1$ e quindi il gruppo ha tre elementi, ed è pertanto $\Z_3$. Nel primo caso invece sappiamo anche che $n$ divide $m+1=n+2$ e quindi $(n+2)/n$ è un intero maggiore o uguale a $2$. Come sopra ciò implica che $2 \geq n$ e quindi $n=1$ (e perciò $m=2$) oppure $n=2$ (e perciò $m=3$). Ora se $n=1$ e $m=2$ abbiamo $\abs{G}=4$, ma un gruppo di ordine quattro è $\Z_4$ oppure $\Z_2 \times \Z_2$, entrambi i quali sono abeliani e quindi hanno quattro classi di coniugazione, il che è una contraddizione. Al contrario se $n=2$ e $m=3$ allora $\abs{G}=6$ ed è non-abeliano, quindi è $D_3$, il gruppo diedrale con sei elementi. Perciò i gruppi con tre classi di coniugazione sono $\Z_3$ e $D_3$.
In altre parole, ai gruppi piace avere molte classi di coniugazione, e solo gruppi piccoli ne hanno poche.