Consideriamo una sfera completamente immersa in un flusso d’acqua, ad esempio un fiume, come schematizzato in figura:
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L’esperienza comune ci dice che la sfera comincerà a muoversi nella stessa direzione del flusso. Il paradosso di d’Alembert è l’osservazione che nel caso in cui si ignori la viscosità le leggi della fluidodinamica predicono che la forza totale sulla sfera sia nulla e che perciò la sfera rimarrà immobile.
Di solito diciamo che la viscosità può essere ignorata se il numero di Reynolds $\mathrm{Re} = \frac{\rho u L }{\mu}$, che corrisponde al rapporto tra forze inerziali e forze viscose, è grande. Nella formula $\rho$ è la densità del fluido, $\mu$ la viscosità, $u$ la velocità e $L$ la lunghezza caratteristica, in questo caso naturalmente il diametro della sfera. Tuttavia anche se $\mathrm{Re} \gg 1$, la sfera immersa nel fluido dovrebbe comunque muoversi, ma calcolando la forza totale sulla sfera otteniamo che è nulla.
Fra poco vedremo i calcoli che portano al paradosso. Per ora ci accontentiamo di notare la soluzione, che sta proprio nel numero di Reynolds. In altre parole possiamo ribaltare il significato del numero prendendo $L$ come incognita e notando che le forze viscose saranno rilevanti fino ad una scala di lunghezza pari a $\mathrm{Re} \approx 1$ ovvero $L \approx \frac{\mu}{\rho u}$. Più precisamente, nelle vicinanze della sfera fino ad una distanza $L$, la viscosità non può essere ignorata. Ciò in realtà è chiaro, perché per imporre le condizioni al contorno appropriate sulla sfera, cioè la condizione antiscivolo, dobbiamo supporre che il fluido abbia attrito, e quindi una viscosità non nulla. Possiamo anche vedere la cosa in un’altra maniera: ovvero se ci mettiamo molto vicini alla sfera non avremo più una visione globale della situazione e la scala di lunghezza appropriata non è più il diametro della sfera, ma la distanza dalla sfera. Il risultato in ogni caso è che attorno alla sfera avremo un cosiddetto strato limite con uno spessore di circa $L \approx \frac{\mu}{\rho u}$ entro il quale la viscosità non può essere ignorata. Fuori dallo strato limite la viscosità invece può essere ignorata come al solito, e all’interfaccia tra i due strati imporremo la continuità di velocità e pressione. In altre parole sebbene il grosso del flusso sia senza viscosità, ci sarà un piccolo strato viscoso attorno alla sfera che funge da cinghia di trasmissione e che darà luogo alla forza sulla sfera. Ignorare questo effetto è ciò che porta al paradosso di d’Alembert.
Ora deriviamo matematicamente il paradosso. Abbiamo l’equazione di Navier-Stokes
$$\pdv{\mathbf{u}}{t} + \pqty{\mathbf{u}\cdot \nabla} \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf u$$
insieme all’equazione di incomprimibilità $\nabla \cdot \mathbf u = 0$. La vorticità è $\boldsymbol \omega = \nabla \times \mathbf u$. Calcolando il rotore $\nabla \times$ dell’equazione di Navier-Stokes otteniamo l’equazione della vorticità,
$$\frac{D\boldsymbol\omega}{Dt}= (\boldsymbol\omega \cdot \nabla) \mathbf u+\nu \nabla^2 \mathbf \omega$$
Ora supponiamo che il fluido sia inviscido, cioè la viscosità è nulla, $\nu=0$. Allora se inizialmente la vorticità è nulla $\boldsymbol \omega = 0$, allora anche la sua derivata sarà nulla $\frac{D\boldsymbol\omega}{Dt}=0$ e quindi la vorticità rimarrà nulla. In altre parole la soluzione dell’equazione è unica e poiché in questo caso $\boldsymbol \omega \equiv 0$ è una soluzione allora ne segue che è l’unica soluzione.
Un flusso con $\boldsymbol \omega = 0$ si dice irrotazionale. Per cui supponendo che il flusso sia irrotazionale inizialmente allora lo sarà per sempre. Notiamo che un flusso irrotazionale è anche necessariamente inviscido. Ora tornando a Navier-Stokes abbiamo
$$\pdv{\mathbf{u}}{t} + \pqty{\mathbf{u}\cdot \nabla} \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p $$
che è detta equazione di Eulero. Poiché $\boldsymbol \omega = \nabla \times \mathbf u = 0$ possiamo scrivere $\mathbf u = \nabla \phi$ per un qualche $\phi$. Consideriamo il secondo termine a sinistra. Abbiamo
$$\pqty{\pqty{\mathbf{u}\cdot \nabla} \mathbf{u}}_i = u_j \partial_j u_i = \partial_j \phi \partial_j \partial_i \phi = \partial_j \phi \partial_i \partial_j \phi = \frac12 \partial_i \pqty{\partial_j \phi \partial_j \phi} = \frac12 \partial_i \pqty{ \mathbf{u}^2}$$
Perciò abbiamo $\pqty{\mathbf{u}\cdot \nabla} \mathbf{u}=\frac12 \nabla \mathbf{u}^2$ e quindi mettendo tutto insieme
$$\nabla \pqty{\pdv{\phi}{t} +\frac12 \mathbf{u}^2 +\frac{1}{\rho}p} = 0$$
Ovvero
$$\pdv{\phi}{t} +\frac12 \mathbf{u}^2 +\frac{1}{\rho}p = f(t)$$
dove $f(t)$ è una funzione che dipende solo dal tempo $t$. Ora poiché il flusso è incomprimibile abbiamo $\nabla \cdot \mathbf u = 0$ e quindi $\nabla^2 \phi = 0$. Questa è l’equazione di Laplace in tre dimensioni. Poiché la sfera è simmetrica e completamente immersa nel fluido, l’unica direzione privilegiata è data dalla velocità del fluido; esisterà quindi una direzione $z$, come nell’immagine sopra, rispetto al cui asse il flusso sia simmetrico, ovvero in coordinate sferiche centrate nel centro della sfera dipenda da $r$ e $\theta$, ma non da $\varphi$. Come abbiamo già visto, sotto queste condizioni abbiamo la soluzione generale dell’equazione di Laplace
$$\phi(r,\theta) = \sum\limits_{n=0}^\infty (A_n r^n + B_n r^{-(n+1)}) P_n (\cos\theta)$$
dove i $P_n$ sono i polinomi di Legendre. Poiché la sfera è impenetrabile, la normale della velocità alla superficie della sfera dev’essere nulla, ovvero $\pdv{\phi}{r} = 0$. Supponiamo inoltre che all’infinito il fluido abbia velocità $\mathbf u = v \hat{z}$ e quindi $\phi = v r\cos{\theta}$ all’infinito. Questa condizione implica $A_1 = v$ e $A_n = 0$ per $n \neq 0$, perciò
$$\phi(r,\theta) =v r \cos\theta+ \sum\limits_{n=0}^\infty B_n r^{-(n+1)} P_n (\cos\theta)$$
Ora se la sfera ha raggio $R$ dobbiamo avere
$$0=\pdv{\phi(r,\theta)}{r}\bigg\lvert_{r=R} = v \cos\theta+ \sum\limits_{n=0}^\infty -B_n (n+1) R^{-n-2} P_n (\cos\theta)$$
Poiché ciò deve valere per ogni $\theta$, dobbiamo avere $B_n = 0$ per $n \neq 1$ e $B_1=\frac12 v R^3$. Ne segue che
$$\phi(r,\theta) =\pqty{ r +\frac{R^3}{2r^2}}v\cos\theta$$
Perciò
$$\mathbf u = \nabla \phi = \pqty{1-\frac{R^3}{r^3}}v\cos\theta \hat r -\pqty{ 1 +\frac{R^3}{2r^3}}v\sin\theta \hat \theta$$
e quindi
$$\mathbf u^2 =v^2\bqty{1 +\frac{R^3}{r^3}\pqty{1-3\cos^2\theta}+\frac{R^6}{4 r^6}\pqty{1-5\cos^2\theta} }$$
Tornando all’equazione di Eulero semplificata avevamo:
$$\pdv{\phi}{t} +\frac12 \mathbf{u}^2 +\frac{1}{\rho}p = f(t)$$
In questo caso abbiamo $\pdv{\phi}{t}=0$. Per fissare la costante $f(t)$ sappiamo che all’infinito $\mathbf{u}^2=v^2$ e possiamo scegliere arbitrariamente la pressione nulla all’infinito. Perciò abbiamo $f(t)=v^2$ e quindi
$$p = \frac12 \rho \pqty{v^2-\mathbf{u}^2} =-\frac12 \rho v^2\bqty{\frac{R^3}{r^3}\pqty{1-3\cos^2\theta}+\frac{R^6}{4 r^6}\pqty{1-5\cos^2\theta} }$$
La forza sulla sfera è perciò data da
$$\mathbf F = -\int_{S} dS \hat r\, p \bigg\lvert_{r=R} =\frac18\rho v^2\int_{S} dS \hat r \pqty{5 -17\cos^2\theta}$$
dove $S$ è la superficie sferica, $\hat r$ la normale alla superficie e $p$ la pressione. La normale alla sfera può essere scritta come:
$$\hat r (\phi,\theta) = (\cos\theta\sin\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\varphi)$$
e quindi
$$\mathbf F = -\int_{S} dS \hat r\, p \bigg\lvert_{r=R} =\frac18\rho v^2 R^2 \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^{\pi} d\theta (\cos\theta\sin\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\varphi) \pqty{5 -17\cos^2\theta} = 0$$
dove tutti gli integrali rispetto a $\varphi$ sono nulli. Perciò la forza totale sulla sfera è nulla.
Un aspetto leggermente poco piacevole di questa dimostrazione è che la simmetria del flusso sembra giocare un ruolo fondamentale, ma generalmente si dice che il paradosso non dipende dalla forma dell’oggetto. Non sono tuttavia a conoscenza di una dimostrazione che valga per una forma qualsiasi.