Consideriamo una sfera completamente immersa in un flusso d’acqua, ad esempio un fiume, come schematizzato in figura:

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L’esperienza comune ci dice che la sfera comincerà a muoversi nella stessa direzione del flusso. Il paradosso di d’Alembert è l’osservazione che nel caso in cui si ignori la viscosità le leggi della fluidodinamica predicono che la forza totale sulla sfera sia nulla e che perciò la sfera rimarrà immobile.
Di solito diciamo che la viscosità può essere ignorata se il numero di Reynolds Re=ρuLμ, che corrisponde al rapporto tra forze inerziali e forze viscose, è grande. Nella formula ρ è la densità del fluido, μ la viscosità, u la velocità e L la lunghezza caratteristica, in questo caso naturalmente il diametro della sfera. Tuttavia anche se Re≫1, la sfera immersa nel fluido dovrebbe comunque muoversi, ma calcolando la forza totale sulla sfera otteniamo che è nulla.
Fra poco vedremo i calcoli che portano al paradosso. Per ora ci accontentiamo di notare la soluzione, che sta proprio nel numero di Reynolds. In altre parole possiamo ribaltare il significato del numero prendendo L come incognita e notando che le forze viscose saranno rilevanti fino ad una scala di lunghezza pari a Re≈1 ovvero L≈μρu. Più precisamente, nelle vicinanze della sfera fino ad una distanza L, la viscosità non può essere ignorata. Ciò in realtà è chiaro, perché per imporre le condizioni al contorno appropriate sulla sfera, cioè la condizione antiscivolo, dobbiamo supporre che il fluido abbia attrito, e quindi una viscosità non nulla. Possiamo anche vedere la cosa in un’altra maniera: ovvero se ci mettiamo molto vicini alla sfera non avremo più una visione globale della situazione e la scala di lunghezza appropriata non è più il diametro della sfera, ma la distanza dalla sfera. Il risultato in ogni caso è che attorno alla sfera avremo un cosiddetto strato limite con uno spessore di circa L≈μρu entro il quale la viscosità non può essere ignorata. Fuori dallo strato limite la viscosità invece può essere ignorata come al solito, e all’interfaccia tra i due strati imporremo la continuità di velocità e pressione. In altre parole sebbene il grosso del flusso sia senza viscosità, ci sarà un piccolo strato viscoso attorno alla sfera che funge da cinghia di trasmissione e che darà luogo alla forza sulla sfera. Ignorare questo effetto è ciò che porta al paradosso di d’Alembert.
Ora deriviamo matematicamente il paradosso. Abbiamo l’equazione di Navier-Stokes
∂u∂t+(u⋅∇)u=−1ρ∇p+ν∇2u
insieme all’equazione di incomprimibilità ∇⋅u=0. La vorticità è ω=∇×u. Calcolando il rotore ∇× dell’equazione di Navier-Stokes otteniamo l’equazione della vorticità,
DωDt=(ω⋅∇)u+ν∇2ω
Ora supponiamo che il fluido sia inviscido, cioè la viscosità è nulla, ν=0. Allora se inizialmente la vorticità è nulla ω=0, allora anche la sua derivata sarà nulla DωDt=0 e quindi la vorticità rimarrà nulla. In altre parole la soluzione dell’equazione è unica e poiché in questo caso ω≡0 è una soluzione allora ne segue che è l’unica soluzione.
Un flusso con ω=0 si dice irrotazionale. Per cui supponendo che il flusso sia irrotazionale inizialmente allora lo sarà per sempre. Notiamo che un flusso irrotazionale è anche necessariamente inviscido. Ora tornando a Navier-Stokes abbiamo
∂u∂t+(u⋅∇)u=−1ρ∇p
che è detta equazione di Eulero. Poiché ω=∇×u=0 possiamo scrivere u=∇ϕ per un qualche ϕ. Consideriamo il secondo termine a sinistra. Abbiamo
((u⋅∇)u)i=uj∂jui=∂jϕ∂j∂iϕ=∂jϕ∂i∂jϕ=12∂i(∂jϕ∂jϕ)=12∂i(u2)
Perciò abbiamo (u⋅∇)u=12∇u2 e quindi mettendo tutto insieme
∇(∂ϕ∂t+12u2+1ρp)=0
Ovvero
∂ϕ∂t+12u2+1ρp=f(t)
dove f(t) è una funzione che dipende solo dal tempo t. Ora poiché il flusso è incomprimibile abbiamo ∇⋅u=0 e quindi ∇2ϕ=0. Questa è l’equazione di Laplace in tre dimensioni. Poiché la sfera è simmetrica e completamente immersa nel fluido, l’unica direzione privilegiata è data dalla velocità del fluido; esisterà quindi una direzione z, come nell’immagine sopra, rispetto al cui asse il flusso sia simmetrico, ovvero in coordinate sferiche centrate nel centro della sfera dipenda da r e θ, ma non da φ. Come abbiamo già visto, sotto queste condizioni abbiamo la soluzione generale dell’equazione di Laplace
ϕ(r,θ)=∞∑n=0(Anrn+Bnr−(n+1))Pn(cosθ)
dove i Pn sono i polinomi di Legendre. Poiché la sfera è impenetrabile, la normale della velocità alla superficie della sfera dev’essere nulla, ovvero ∂ϕ∂r=0. Supponiamo inoltre che all’infinito il fluido abbia velocità u=vˆz e quindi ϕ=vrcosθ all’infinito. Questa condizione implica A1=v e An=0 per n≠0, perciò
ϕ(r,θ)=vrcosθ+∞∑n=0Bnr−(n+1)Pn(cosθ)
Ora se la sfera ha raggio R dobbiamo avere
0=∂ϕ(r,θ)∂r|r=R=vcosθ+∞∑n=0−Bn(n+1)R−n−2Pn(cosθ)
Poiché ciò deve valere per ogni θ, dobbiamo avere Bn=0 per n≠1 e B1=12vR3. Ne segue che
ϕ(r,θ)=(r+R32r2)vcosθ
Perciò
u=∇ϕ=(1−R3r3)vcosθˆr−(1+R32r3)vsinθˆθ
e quindi
u2=v2[1+R3r3(1−3cos2θ)+R64r6(1−5cos2θ)]
Tornando all’equazione di Eulero semplificata avevamo:
∂ϕ∂t+12u2+1ρp=f(t)
In questo caso abbiamo ∂ϕ∂t=0. Per fissare la costante f(t) sappiamo che all’infinito u2=v2 e possiamo scegliere arbitrariamente la pressione nulla all’infinito. Perciò abbiamo f(t)=v2 e quindi
p=12ρ(v2−u2)=−12ρv2[R3r3(1−3cos2θ)+R64r6(1−5cos2θ)]
La forza sulla sfera è perciò data da
F=−∫SdSˆrp|r=R=18ρv2∫SdSˆr(5−17cos2θ)
dove S è la superficie sferica, ˆr la normale alla superficie e p la pressione. La normale alla sfera può essere scritta come:
ˆr(ϕ,θ)=(cosθsinφ,sinθsinφ,cosφ)
e quindi
F=−∫SdSˆrp|r=R=18ρv2R2∫2π0dφ∫π0dθ(cosθsinφ,sinθsinφ,cosφ)(5−17cos2θ)=0
dove tutti gli integrali rispetto a φ sono nulli. Perciò la forza totale sulla sfera è nulla.
Un aspetto leggermente poco piacevole di questa dimostrazione è che la simmetria del flusso sembra giocare un ruolo fondamentale, ma generalmente si dice che il paradosso non dipende dalla forma dell’oggetto. Non sono tuttavia a conoscenza di una dimostrazione che valga per una forma qualsiasi.