Il paradosso di d’Alembert in fluidodinamica

Consideriamo una sfera completamente immersa in un flusso d’acqua, ad esempio un fiume, come schematizzato in figura:

Presa da Wikimedia.

L’esperienza comune ci dice che la sfera comincerà a muoversi nella stessa direzione del flusso. Il paradosso di d’Alembert è l’osservazione che nel caso in cui si ignori la viscosità le leggi della fluidodinamica predicono che la forza totale sulla sfera sia nulla e che perciò la sfera rimarrà immobile.

Di solito diciamo che la viscosità può essere ignorata se il numero di Reynolds Re=ρuLμ, che corrisponde al rapporto tra forze inerziali e forze viscose, è grande. Nella formula ρ è la densità del fluido, μ la viscosità, u la velocità e L la lunghezza caratteristica, in questo caso naturalmente il diametro della sfera. Tuttavia anche se Re1, la sfera immersa nel fluido dovrebbe comunque muoversi, ma calcolando la forza totale sulla sfera otteniamo che è nulla.

Fra poco vedremo i calcoli che portano al paradosso. Per ora ci accontentiamo di notare la soluzione, che sta proprio nel numero di Reynolds. In altre parole possiamo ribaltare il significato del numero prendendo L come incognita e notando che le forze viscose saranno rilevanti fino ad una scala di lunghezza pari a Re1 ovvero Lμρu. Più precisamente, nelle vicinanze della sfera fino ad una distanza L, la viscosità non può essere ignorata. Ciò in realtà è chiaro, perché per imporre le condizioni al contorno appropriate sulla sfera, cioè la condizione antiscivolo, dobbiamo supporre che il fluido abbia attrito, e quindi una viscosità non nulla. Possiamo anche vedere la cosa in un’altra maniera: ovvero se ci mettiamo molto vicini alla sfera non avremo più una visione globale della situazione e la scala di lunghezza appropriata non è più il diametro della sfera, ma la distanza dalla sfera. Il risultato in ogni caso è che attorno alla sfera avremo un cosiddetto strato limite con uno spessore di circa Lμρu entro il quale la viscosità non può essere ignorata. Fuori dallo strato limite la viscosità invece può essere ignorata come al solito, e all’interfaccia tra i due strati imporremo la continuità di velocità e pressione. In altre parole sebbene il grosso del flusso sia senza viscosità, ci sarà un piccolo strato viscoso attorno alla sfera che funge da cinghia di trasmissione e che darà luogo alla forza sulla sfera. Ignorare questo effetto è ciò che porta al paradosso di d’Alembert.

Ora deriviamo matematicamente il paradosso. Abbiamo l’equazione di Navier-Stokes

ut+(u)u=1ρp+ν2u

insieme all’equazione di incomprimibilità u=0. La vorticità è ω=×u. Calcolando il rotore × dell’equazione di Navier-Stokes otteniamo l’equazione della vorticità,

DωDt=(ω)u+ν2ω

Ora supponiamo che il fluido sia inviscido, cioè la viscosità è nulla, ν=0. Allora se inizialmente la vorticità è nulla ω=0, allora anche la sua derivata sarà nulla DωDt=0 e quindi la vorticità rimarrà nulla. In altre parole la soluzione dell’equazione è unica e poiché in questo caso ω0 è una soluzione allora ne segue che è l’unica soluzione.

Un flusso con ω=0 si dice irrotazionale. Per cui supponendo che il flusso sia irrotazionale inizialmente allora lo sarà per sempre. Notiamo che un flusso irrotazionale è anche necessariamente inviscido. Ora tornando a Navier-Stokes abbiamo

ut+(u)u=1ρp

che è detta equazione di Eulero. Poiché ω=×u=0 possiamo scrivere u=ϕ per un qualche ϕ. Consideriamo il secondo termine a sinistra. Abbiamo

((u)u)i=ujjui=jϕjiϕ=jϕijϕ=12i(jϕjϕ)=12i(u2)

Perciò abbiamo (u)u=12u2 e quindi mettendo tutto insieme

(ϕt+12u2+1ρp)=0

Ovvero

ϕt+12u2+1ρp=f(t)

dove f(t) è una funzione che dipende solo dal tempo t. Ora poiché il flusso è incomprimibile abbiamo u=0 e quindi 2ϕ=0. Questa è l’equazione di Laplace in tre dimensioni. Poiché la sfera è simmetrica e completamente immersa nel fluido, l’unica direzione privilegiata è data dalla velocità del fluido; esisterà quindi una direzione z, come nell’immagine sopra, rispetto al cui asse il flusso sia simmetrico, ovvero in coordinate sferiche centrate nel centro della sfera dipenda da r e θ, ma non da φ. Come abbiamo già visto, sotto queste condizioni abbiamo la soluzione generale dell’equazione di Laplace

ϕ(r,θ)=n=0(Anrn+Bnr(n+1))Pn(cosθ)

dove i Pn sono i polinomi di Legendre. Poiché la sfera è impenetrabile, la normale della velocità alla superficie della sfera dev’essere nulla, ovvero ϕr=0. Supponiamo inoltre che all’infinito il fluido abbia velocità u=vˆz e quindi ϕ=vrcosθ all’infinito. Questa condizione implica A1=v e An=0 per n0, perciò

ϕ(r,θ)=vrcosθ+n=0Bnr(n+1)Pn(cosθ)

Ora se la sfera ha raggio R dobbiamo avere

0=ϕ(r,θ)r|r=R=vcosθ+n=0Bn(n+1)Rn2Pn(cosθ)

Poiché ciò deve valere per ogni θ, dobbiamo avere Bn=0 per n1B1=12vR3. Ne segue che

ϕ(r,θ)=(r+R32r2)vcosθ

Perciò

u=ϕ=(1R3r3)vcosθˆr(1+R32r3)vsinθˆθ

e quindi

u2=v2[1+R3r3(13cos2θ)+R64r6(15cos2θ)]

Tornando all’equazione di Eulero semplificata avevamo:

ϕt+12u2+1ρp=f(t)

In questo caso abbiamo ϕt=0. Per fissare la costante f(t) sappiamo che all’infinito u2=v2 e possiamo scegliere arbitrariamente la pressione nulla all’infinito. Perciò abbiamo f(t)=v2 e quindi

p=12ρ(v2u2)=12ρv2[R3r3(13cos2θ)+R64r6(15cos2θ)]

La forza sulla sfera è perciò data da

F=SdSˆrp|r=R=18ρv2SdSˆr(517cos2θ)

dove S è la superficie sferica, ˆr la normale alla superficie e p la pressione. La normale alla sfera può essere scritta come:

ˆr(ϕ,θ)=(cosθsinφ,sinθsinφ,cosφ)

e quindi

F=SdSˆrp|r=R=18ρv2R22π0dφπ0dθ(cosθsinφ,sinθsinφ,cosφ)(517cos2θ)=0

dove tutti gli integrali rispetto a φ sono nulli. Perciò la forza totale sulla sfera è nulla.

Un aspetto leggermente poco piacevole di questa dimostrazione è che la simmetria del flusso sembra giocare un ruolo fondamentale, ma generalmente si dice che il paradosso non dipende dalla forma dell’oggetto. Non sono tuttavia a conoscenza di una dimostrazione che valga per una forma qualsiasi.

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